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Cours : 4e année secondaire > Chapitre 1

Leçon 4: Triangle quelconque : Formule des sinus, des cosinus (Al-Kashi)

Loi des sinus et théorème d'Al-Khashi - Savoirs et savoir-faire

Pour vérifier si vous avez compris et mémorisé.

La loi des sinus

\frac{a}{\sin (α)} = \frac{b}{\sin (β)} = \frac{c}{\sin (γ)}

Le théorème d'Al-Kashi (ou loi des cosinus)

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (γ)

La vidéo sur la loi des sinus.
La vidéo sur la loi des cosinus.

1 - Utiliser la loi des sinus

On utilise cette formule pour calculer soit un angle, soit la longueur d'un côté.

Exemple 1 : Calcul de la longueur d'un côté

Soit à calculer

A C

dans ce triangle :

D'après la loi des sinus,

\frac{A B}{\sin (\hat{C})} = \frac{A C}{\sin (\hat{B})}

. On obtient :

\begin{aligned} \frac{A B}{\sin (\hat{C})} & = \frac{A C}{\sin (\hat{B})} \\ \frac{5}{\sin (33^{\circ})} & = \frac{A C}{\sin (67^{\circ})} \\ \frac{5 \sin (67^{\circ})}{\sin (33^{\circ})} & = A C \\ 8, 45 & \approx A C \end{aligned}

Exemple 2 : Calcul de la mesure d'un angle

Soit à calculer la mesure de l'angle

\hat{A}

dans ce triangle :

D'après la loi des sinus,

\frac{B C}{\sin (\hat{A})} = \frac{A B}{\sin (\hat{C})}

. On obtient :

\begin{aligned} \frac{B C}{\sin (\hat{A})} & = \frac{A B}{\sin (\hat{C})} \\ \frac{11}{\sin (\hat{A})} & = \frac{5}{\sin (25^{\circ})} \\ 11 \sin (25^{\circ}) & = 5 \sin (\hat{A}) \\ \frac{11 \sin (25^{\circ})}{5} & = \sin (\hat{A}) \end{aligned}

A la calculatrice, on obtient :

\hat{A} = \sin^{- 1} (\frac{11 \sin (25^{\circ})}{5}) \approx 68, 4^{\circ}

Attention, ne pas oublier que si l'angle est obtus, sa mesure est la différence entre

180^{\circ}

et la valeur donnée par la calculatrice.

Exercice 1.1

B C =

Donner sa longueur arrondie au dixième.

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

2 - Utiliser le théorème d'Al-Kashi (ou loi des cosinus)

On utilise cette formule pour calculer soit un angle, soit la longueur d'un côté.

Exemple 1 : Calcul de la mesure d'un angle

Soit à calculer la mesure de l'angle

\hat{B}

dans ce triangle :

D'après le théorème d’Al-Kashi :

A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2 A B \times B C \cos (\hat{B})

On obtient :

\begin{aligned} 5^{2} & = 10^{2} + 6^{2} - 2 \times 10 \times 6 \cos (\hat{B}) \\ 25 & = 100 + 36 - 120 \cos (\hat{B}) \\ 120 \cos (\hat{B}) & = 111 \\ \cos (\hat{B}) & = \frac{111}{120} \end{aligned}

A la calculatrice, on obtient :

\hat{B} = \cos^{- 1} (\frac{111}{120}) \approx 22, 33^{\circ}

Exemple 2 : Calcul de la longueur d'un côté

Soit à calculer

A B

dans ce triangle :

D'après le théorème d’Al-Kashi :

A B^{2} = A C^{2} + B C^{2} - 2 A C \times B C \cos (\hat{C})

On obtient :

\begin{aligned} A B^{2} & = 5^{2} + 16^{2} - 2 \times 5 \times 16 \cos (61^{\circ}) \\ A B^{2} & = 25 + 256 - 160 \cos (61^{\circ}) \\ A B & = \sqrt{281 - 160 \cos (61^{\circ})} \\ A B & \approx 14, 3 \end{aligned}

Exercice 2.1

\hat{A} =

^{\circ}

Donner sa mesure arrondie au degré.

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

3 - Des exercices concrets

Exercice 3.1

"Il n'en reste plus qu'un" dit Yann à son frère de sa cachette.

Mathis hoche la tête en signe d’acquiescement, en regardant le dernier robot ennemi.

34

degrés." indique Mathis, pour informer Yann de l'angle entre lui et le robot.

Yann marque cette valeur sur sa figure (voir ci-dessous) et fait un calcul. Après avoir réglé son canon laser sur la bonne distance, il se lève, vise, et tire.

Sur quelle distance Yann a-t-il réglé son canon laser ?
Ne pas arrondir les résultats intermédiaires. Arrondir la réponse au mètre.

m

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

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