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4e année secondaire

Cours : 4e année secondaire > Chapitre 1 

Leçon 4: Triangle quelconque : Formule des sinus, des cosinus (Al-Kashi)
Mathématiques
4e année secondaire
Trigonométrie
Triangle quelconque : Formule des sinus, des cosinus (Al-Kashi)
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Loi des sinus et théorème d'Al-Khashi - Savoirs et savoir-faire

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La loi des sinus

start fraction, a, divided by, sine, left parenthesis, alpha, right parenthesis, end fraction, equals, start fraction, b, divided by, sine, left parenthesis, beta, right parenthesis, end fraction, equals, start fraction, c, divided by, sine, left parenthesis, gamma, right parenthesis, end fraction

Le théorème d'Al-Kashi (ou loi des cosinus)

c, squared, equals, a, squared, plus, b, squared, minus, 2, a, b, cosine, left parenthesis, gamma, right parenthesis
La vidéo sur la loi des sinus.
La vidéo sur la loi des cosinus.

1 - Utiliser la loi des sinus

On utilise cette formule pour calculer soit un angle, soit la longueur d'un côté.

Exemple 1 : Calcul de la longueur d'un côté

Soit à calculer A, C dans ce triangle :
D'après la loi des sinus, start fraction, A, B, divided by, sine, left parenthesis, C, with, \widehat, on top, right parenthesis, end fraction, equals, start fraction, A, C, divided by, sine, left parenthesis, B, with, \widehat, on top, right parenthesis, end fraction. On obtient :
ABsin⁡(C^)=ACsin⁡(B^)5sin⁡(33∘)=ACsin⁡(67∘)5sin⁡(67∘)sin⁡(33∘)=AC8,45≈AC\begin{aligned} \dfrac{AB}{\sin(\widehat C)}&=\dfrac{AC}{\sin(\widehat B)} \\\\ \dfrac{5}{\sin(33^\circ)}&=\dfrac{AC}{\sin(67^\circ)}\\\\ \dfrac{5\sin(67^\circ)}{\sin(33^\circ)}&=AC \\\\ 8{,}45&\approx AC \end{aligned}

Exemple 2 : Calcul de la mesure d'un angle

Soit à calculer la mesure de l'angle A, with, \widehat, on top dans ce triangle :
D'après la loi des sinus, start fraction, B, C, divided by, sine, left parenthesis, A, with, \widehat, on top, right parenthesis, end fraction, equals, start fraction, A, B, divided by, sine, left parenthesis, C, with, \widehat, on top, right parenthesis, end fraction. On obtient :
BCsin⁡(A^)=ABsin⁡(C^)11sin⁡(A^)=5sin⁡(25∘)11sin⁡(25∘)=5sin⁡(A^)11sin⁡(25∘)5=sin⁡(A^)\begin{aligned} \dfrac{BC}{\sin(\widehat A)}&=\dfrac{AB}{\sin(\widehat C)} \\\\ \dfrac{11}{\sin(\widehat A)}&=\dfrac{5}{\sin(25^\circ)} \\\\ 11\sin(25^\circ)&=5\sin(\widehat A) \\\\ \dfrac{11\sin(25^\circ)}{5}&=\sin(\widehat A) \end{aligned}
A la calculatrice, on obtient :
A, with, \widehat, on top, equals, sine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, 11, sine, left parenthesis, 25, degrees, right parenthesis, divided by, 5, end fraction, right parenthesis, approximately equals, 68, comma, 4, degrees
Attention, ne pas oublier que si l'angle est obtus, sa mesure est la différence entre 180, degrees et la valeur donnée par la calculatrice.
Exercice 1.1
  • Actuelle
B, C, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Donner sa longueur arrondie au dixième.

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

2 - Utiliser le théorème d'Al-Kashi (ou loi des cosinus)

On utilise cette formule pour calculer soit un angle, soit la longueur d'un côté.

Exemple 1 : Calcul de la mesure d'un angle

Soit à calculer la mesure de l'angle B, with, \widehat, on top dans ce triangle :
D'après le théorème d’Al-Kashi :
A, C, squared, equals, A, B, squared, plus, B, C, squared, minus, 2, A, B, ×, B, C, cosine, left parenthesis, B, with, \widehat, on top, right parenthesis
On obtient :
52=102+62−2×10×6cos⁡(B^)25=100+36−120cos⁡(B^)120cos⁡(B^)=111cos⁡(B^)=111120\begin{aligned} 5^2&=10^2+6^2-2×10×6\cos(\widehat B) \\\\ 25&=100+36-120\cos(\widehat B) \\\\ 120\cos(\widehat B)&=111 \\\\ \cos(\widehat B)&=\dfrac{111}{120} \end{aligned}
A la calculatrice, on obtient :
B, with, \widehat, on top, equals, cosine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, 111, divided by, 120, end fraction, right parenthesis, approximately equals, 22, comma, 33, degrees

Exemple 2 : Calcul de la longueur d'un côté

Soit à calculer A, B dans ce triangle :
D'après le théorème d’Al-Kashi :
A, B, squared, equals, A, C, squared, plus, B, C, squared, minus, 2, A, C, ×, B, C, cosine, left parenthesis, C, with, \widehat, on top, right parenthesis
On obtient :
AB2=52+162−2×5×16cos⁡(61∘)AB2=25+256−160cos⁡(61∘)AB=281−160cos⁡(61∘)AB≈14,3\begin{aligned} AB^2&=5^2+16^2-2×5×16\cos(61^\circ) \\\\ AB^2&=25+256-160\cos(61^\circ) \\\\ AB&=\sqrt{281-160\cos(61^\circ)} \\\\ AB&\approx 14{,}3 \end{aligned}
Exercice 2,1
  • Actuelle
A, with, \widehat, on top, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees
Donner sa mesure arrondie au degré.

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

3 - Des exercices concrets

Exercice 3,1
  • Actuelle
"Il n'en reste plus qu'un" dit Yann à son frère de sa cachette.
Mathis hoche la tête en signe d’acquiescement, en regardant le dernier robot ennemi.
"34 degrés." indique Mathis, pour informer Yann de l'angle entre lui et le robot.
Yann marque cette valeur sur sa figure (voir ci-dessous) et fait un calcul. Après avoir réglé son canon laser sur la bonne distance, il se lève, vise, et tire.
Sur quelle distance Yann a-t-il réglé son canon laser ?
Ne pas arrondir les résultats intermédiaires. Arrondir la réponse au mètre.
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
start text, space, m, end text

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

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