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Les matrices identité

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Prérequis :

Une matrice est un tableau de nombres qui comporte des lignes et des colonnes.
Par définition si une matrice a m lignes et n colonnes, elle est dite de dimension m×n (dans cet ordre). La matrice A a 2 lignes et 3 colonnes, donc elle est de dimension 2×3. On dit aussi que c'est une matrice 2×3.
Éventuellement, reportez-vous à la leçon Qu'est-ce qu'une matrice ?
Chacun des éléments de la matrice produit est le produit scalaire du vecteur associé à l'une des lignes de la première matrice et du vecteur associé à l'une des colonnes de la deuxième matrice.
Si nécessaire, reportez-vous à la leçon Multiplier deux matrices.

Les matrices identité

La matrice identité de dimension n×n, notée In, est une matrice carrée de n lignes et n colonnes. Tous les éléments de sa diagonale sont égaux à 1 et tous les autres éléments sont égaux à0.
Par exemple :
I2=[1001]I3=[100010001]I4=[1000010000100001]
Le rôle de la matrice identité dans l'ensemble des matrices est le même que celui de 1 dans l'ensemble des réels.

Question : Que se passe-t-il si on multiplie une matrice par la matrice identité de même dimension ?

Effectuer ces produits :
1) I2=[1001] et A=[2351].
I2×A=

2) I3=[100010001] et A=[154322413].
A×I3=

Conclusion

Quelle que soit la matrice A, si on la multiplie, à droite ou à gauche par la matrice identité de même dimension, on obtient la matrice A elle-même. Quelle que soit la matrice A, A×I=I×A=A.

L'élément neutre pour la multiplication dans l'ensemble des matrices n×n et la matrice inverse d'un matrice

Élément neutre pour la multiplication

La matrice In joue le même rôle dans l'ensembles des matrices n×n que le nombre 1 dans l'ensemble des réels.
Le nombre 1La matrice In
Quel que soit a, le produit de 1 par a est égal à a. Quel que soit a, a×1=1×a=aQuelle que soit la matrice n×n, A, le produit de la matrice In par la matrice A est égal à A. Quelle que soit A, A×In=In×A=A

Matrice inverse

Par définition, l'inverse du nombre réel a est le nombre dont le produit par a est égal à 1. Par exemple, 13×3=1 et 3×13=1, donc 13 et 3 sont inverses l'un de l'autre.
Tout réel différent de 0 a un inverse. Est-ce que de même toute matrice non nulle a une matrice inverse ?
Soient les matrices A et B :
A=[2334] B=[4332]
On calcule queAB=I2 et BA=I2.
Donc les matrices A et B sont inverses l'une de l'autre.
Mais nous verrons qu'il n'est pas vrai que toute matrice différente de la matrice nulle a une matrice inverse.

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