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5e année secondaire - 6h
Théorème des valeurs intermédiaires - Savoirs et savoir-faire
Pour vérifier si vous avez compris et mémorisé
Le théorème des valeurs intermédiaires
Si la fonction f est continue sur open bracket, a, ;, b, close bracket, alors f prend au moins une fois toute valeur comprise entre f, left parenthesis, a, right parenthesis et f, left parenthesis, b, right parenthesis.
ce qui signifie que quel que soit le réel L compris entre f, left parenthesis, a, right parenthesis et f, left parenthesis, b, right parenthesis, l'équation f, left parenthesis, c, right parenthesis, equals, L a au moins une solution dans l'intervalle open bracket, a, ;, b, close bracket.
Graphiquement, une fonction continue sur un intervalle I est une fonction dont on peut tracer la courbe représentative sur I sans lever le crayon. Si la fonction f est continue sur l'intervalle open bracket, a, space, ;, b, close bracket et si sa courbe passe par les points de coordonnées left parenthesis, a, comma, f, left parenthesis, a, right parenthesis, right parenthesis et left parenthesis, b, comma, f, left parenthesis, b, right parenthesis, right parenthesis...
... alors quel que soit le réel y compris entre f, left parenthesis, a, right parenthesis et f, left parenthesis, b, right parenthesis, la courbe passe au moins une fois par un point d'ordonnée y.
Ce théorème a un corollaire : Si la fonction f est continue et strictement monotone sur open bracket, a, ;, b, close bracket, et si le réel L est compris entre f, left parenthesis, a, right parenthesis et f, left parenthesis, b, right parenthesis, alors l'équation f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, L a une seule solution dans l'intervalle open bracket, a, ;, b, close bracket.
A quoi sert ce théorème ?
Soit ce tableau de valeurs de la fonction f continue sur ℝ. On peut en déduire que l'équation f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2 a au moins une solution et un encadrement de la solution, ou des solutions.
| x | minus, 2 | minus, 1 | 0 | 1 |
|---|---|---|---|---|
| f, left parenthesis, x, right parenthesis | 4 | 3 | minus, 1 | 1 |
f, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, equals, 3 et f, left parenthesis, 0, right parenthesis, equals, minus, 1. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, sur l'intervalle open bracket, minus, 1, comma, 0, close bracket, la fonction f prend au moins une fois toute valeur comprise entre minus, 1 et 3.
2 est compris entre minus, 1 et 3, donc il existe au moins un réel c appartenant à open bracket, minus, 1, comma, 0, close bracket tel que f, left parenthesis, c, right parenthesis, equals, 2. Par conséquent, il existe au moins un réel c compris entre minus, 1 et 0, solution de l'équation f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2.
Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.
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Bonjour, il n'existe pas 2 versions du théorème des valeurs intermédiaires contrairement à ce que je peux lire ici mais, il y a le théorème des valeurs intermédiaires et le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires. Ils sont tous deux vu en lycée, car on ne peut pas comprendre un corollaire sans en connaître l'origine. Peut-on espérer avoir un ajout sur le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires ?(1 vote)- Vous avez entièrement raison ! C'est une erreur de notre part. J'ai corrigé et j'ai ajouté l'énoncé du corollaire. La nouvelle version sera en ligne à la prochaine mise à jour du site. Merci à vous !
Marie-Gabrielle Denizet (BSF)(2 votes)