Espérance et variance dans le cas de la loi de Bernoulli - exemple

alors on va imaginer que je peux interrogé je peux mener une enquête sur une population complète sur une population totale alors c'est vrai que dans dans en général on s'est passé quelque chose qu'on peut faire puisque m'a souvent des populations qui sont bien trop importantes pour pouvoir mener des enquêtes sur la population totale mais là on va imaginer que je peux le faire et donc je vais aller voir toutes les personnes de ma population je vais leur demander quel est votre avis sur le président alors je peux avoir de réponses possibles la première réponse possible c j'ai un avis favorable sur le président un avis favorable et la deuxième réponse et j'ai un avis défavorable défavorable voilà ça ce sont les deux réponses possibles à mon enquête et donc j'ai interrogé tout le monde toute la population et j'ai obtenu 60% d'avis favorables et 40% d'avis défavorables voilà ça c'est le résultat de mon enquête alors je vais faire un petit dessin pour qu'on comprenne un peu mieux ce qui ce qui se passe en fait j'ai deux réponses possibles la première c'est un avis défavorable et la deuxième c'est un avis favorable voilà je le note comme ça des pour défavorable et s pour favorable et puis je peux représenter la proportion d'avis défavorables par un bâton comme ça je vais faire d'une certaine hauteur et la propension d'un fils d'avis favorables je vais là représenté par un bâton un peu plus grand puisque ici c'est 60% donc la hauteur de ce bâton passé 40 % puisque c'est ce pourcentage là donc ça assez 40% je veux noter comme ça et puis les ce bâton si les avis des les avis favorables c'est 60% donc ici j'ai un bâton de hauteur 60% voilà alors tu peux déjà remarqué une chose c'est que si tu fais la somme de ces deux valeurs mais tu vas obtenir 100% puisque effectivement là on a tous les cas possibles donc soit on a un avis favorable soit on a un avis défavorable donc quand je fais la somme des deux évidemment j'obtiens tous les avis possible voilà alors ça c'est le graphique de ma distribution statistique est en fait que j'ai envie de faire c'est de calculer la moyenne des cons à une distribution statistique c'est quand même un bon réflexe d'aller calculer la moyenne donc là je voudrais essayer de calculer la moyenne et la moyenne ici en fait c'est l'espérance matin tic on va devant on peut la calculé en faisant la somme des valeurs possibles de la variable pondérée par leur probabilité alors ici ce qui est embêtant c'est que on a une variable qui est qualitative c'est défavorable favorable c'est pas une variable numérique quantitative donc on peut pas vraiment calculer la moyenne parce qu'il faudrait faire 40 pour cent fois des skis a pas vraiment de sens et 60% fois f ce cas pas de sens non plus donc ce qu'on va faire ici c'est codé nos réponses donc en fait je vais coder un avis défavorable par la valeur zéro et un avis favorable par la valeur 1 voilà alors maintenant je vais pouvoir calculer la moyenne puisque là la notion de somme pondérée par les probabilités à une sens donc la moyenne bon bcc l'espérance mathématique de la variable aléatoire ici qui est la réponse la réponse à la question posée donc ici je vais la notte mu alors je vais faire la somme pondérée des valeurs de la variable donc ici j'ai déjà à la valeur zéro avec une probabilité de ces les avis défavorable donc c'est la paume probabilité de 40 % donc j'ai zéro x 40 % plus la valeur un gelabale la deuxième valeur c'est la valeur 1 dont la probabilité c'est 60% donc je vais pondérer sa part 60 % donc ça fait un x 60 % alors là on peut calculer l'âge et 0 40 % donc ça c'est nul ça fait zéro et il me reste simplement une fois par 60 % c'est-à-dire 60% voilà donc la moyenne de ma distribution ici c'est 60% que je vais pouvoir placer quelque part ici entre 0 et 1 donc ça va pas tout à fait au milieu mais à peu près donc ici j'ai la moyenne mais alors là ce que tu peut remarquer c'est que cette moyenne donc je vais l'écrire comme ça c'est 0,6 et bien c'est pas une des valeurs possibles delà de la distribution donc fait personne ne peut répondre à ce son à cette question personne ne peut répondre en disant j'ai soixante je suis 60 % favorables et 40 % des femmes arabes sas ça n'a pas de sens dans le sondage telles que je les pose elle est seule chose que peuvent répondre les personnes interrogées c'est oui je suis favorable ou non je ne suis pas favorable donc là on a un cas intéressante puisque c'est le cas d'une distribution statistique ou la moyenne n'est pas une des valeurs possibles de la variable mais c'est quand même la moyenne de cette distribution il ya une raison pour laquelle ça a du sens tout ça c'est que si j'interroge 100 personnes par exemple si intéressante 100 personnes la proportion attendu de personnes qui vont avoir un avis favorable ça va être cette moyenne cette moyenne la fois sans donc on va retrouver les 60 % qui sont là voilà alors bon on a calculé cette moyenne maintenant est-ce qu'on peut calculer la variance alors retourné dans le cas discret un sage les pas du tout à l'heure mais cette manière de calculer la moyenne ça marche pour le cas d'une variable discrète ce qui est notre cas ici et pour calculer la variance dans le cas discret comme ici eh bien on fait la somme des écarts par rapport à la moyenne élevée au carré pondéré par leur probabilité donc ici ça va donner alors je vais le noter avec son symbole sigma sigma au carré ça c'est la variance donc ça va être la somme alors d'abord je vais mesurer l'écart de la première valeur qui est zéro par rapport à la moyenne donc ça c'est zéro alors je vais le faire comme ça 0 - la moyenne qui est 0,6 élevée au carré pondéré par la probabilité de la valeur zéro qui est donc 40 % 40 % donc je voulais créer plutôt comme ça c'est 04 40 % c'est 0.4 donc voilà plus l'écart de la deuxième valeur par rapport à la moyenne donc ça c'est un moins 0,6 élevée au carré x la probabilité de la valeur 1 donc ça c'est 60% donc 0,6 voilà alors avant de on a utilisé à quelques tristes mais avant de le faire je vais essayer de simplifier un petit peu ça donc ici j'ai zéro - 0.60 moins 0,6 ça ça fait moins 0,6 donc quand je l'élève au carré se fait 0,6 au carré 06 aux caresses a fait 0,36 donc là j'ai 0.36 soit 0.4 plus alors ici c'est pareil je vais pouvoir faire un peu de simplification la cette partie là un mois 0,6 à fait 0.4 quand j'élève 0,4 au carré ça fait 0,16 donc ici j'ai 0.16 fois 0,6 donc là je vais prendre la calculatrice par contre alors ça me fait 0,36 fois 0,4 plus 0.16 fois 0,6 donc je trouve 0,24 0,24 donc la variance de notre distribution c'est zéro point 24 à partir de ça on peut tout de suite calculer l'écart type de la distribution donc ça c'est sigma c'est tout simplement la racine carrée de la variance donc c'est la racine carrée de 0,24 ça je veux le faire alors je vais prendre racine carrée de la réponse précédente comme ça je vais un peu plus vite et voilà ça me donne ce nombre là 0,4 189 et là je vais arrondir à 0,49 donc on va dire que ça c'est l'écart type de la distribution c'est à peu près 0.49 parce qu'une valeur arrondie au centième donc voilà finalement notre distribution statistique là c est là une moyenne de 0,6 donc ça je les place est ici elle a un écart type de 0,5 un peu près 05 je peux en dire encore un peu plus que ce que j'ai fait tout à l'heure donc si je veux placer un écart-type après la moyenne je vais arriver voilà à peu près ici et si je veux placer un écart type avant la moyenne bah je suis un peu avant cette valeur un peu avant la voir la valeur zéro puisque ça fait 0 6 mois 0,5 ça va faire 0-1 voilà et là j'aurai je serai à 1,1 voilà alors évidemment bon la visualisation de l'écart type n'est pas très facile quand on a le cas quand on a une distribution discrète parce qu'effectivement on peut pas prendre des valeurs entre les deux valeurs 0 et donc la visualisation n'a pas autant de sens que dans le cas d'une continue mais quand même il ya une chose qu'on peut remarquer c'est que ce qui est assez logique que la distribution est un petit peu asymétrique vers la droite donc vers la valeur la proportion la plus importante ce qui est finalement assez logique voilà alors cette distribution et la porte un nom aux fins d'un cas particulier d'une distribution qu'on appelle la distribution de bernoulli est en fait cette distribution de bernoulli c'est le cas le plus simple de la loi baigne binomiale en fait une loi binomiale avec un seul essai donc c'est le cas le plus simple est là j'ai pris je voulais donner un peu de sens à sa pourquoi est-ce qu'on utilise ce type de distribution avec donc j'ai pris un exemple avec des nombres avec des valeurs précises mais ce qu'on va faire dans la dans la prochaine vidéo dans les prochaines vidéos c'est que on va étudier la distribution de bernoulli la loi de bernoulli dans le cas complètement général donc dans le cas où on va avoir une proportion paix pour la valeur 1 et une proportion donc 1 - paix pour la valeur 0 1 donc ça ici ce sera un mois p est ce qu'on va faire c'est essayer de trouver des formules générales donc dense dans ce cas complètement général on va essayer de trouver les formules générales qui donne la moyenne la variance et l'écart type d'une loi de bernoulli