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Simplifier le calcul d'une intégrale grâce à un changement de variable

Transcription de la vidéo

bien ici on cherche à calculer l'intégrale entre 1 et 2 de x + 3 x x - un puissant 5 dx alors cette intégrale elle peut se calculer de manière tout à fait traditionnelle parce que là je peux on peut tous développés on peut ouvrir les parenthèses avec le x - en puissance 5 x - puissance 5 par la formule du binôme on peut aussi les ouvrir si on connaît pas la formule du binôme de manière à la main touches tout à fait traditionnelle développer ensuite avec le x puissance 3 on obtient une fonction polynôme et on prend la primitive de chaque mot no non va réussir à trouver une primitive de cette fonction comme ceci est donc ça nous posera pas de problème de calculer cette intégrale maintenant on peut se dire que c'est quand même beaucoup de travail et on va voir si on fait ça comme ça on va avoir beaucoup beaucoup de travail de développement pour un petit peu de travail de calcul intégral est ainsi qu aura peut-être un moyen d'optimiser sa fière de travailler plus efficacement d'obtenir au même d'arriver au même résultat en y passant moins de temps et ce moyen là c'est de faire un petit changement de variables non pas comme on a fait précédemment précédemment pour nous permettre de calculer mais juste pour nous simplifier un peu les calculs parce qu'on n'a pas vraiment envie de développer x - un puissant 5 de passer beaucoup de temps à développer x - impuissance 5 par la formule du binôme donc l'idée c'est de poser hué galles x - un haut lieu comme ça au lieu de x - un puissant 5 à la place de x - un puissant 5 on va avoir une puissance 5 ce qui va être beaucoup plus facile à développer après donc c'est ce qu'on va faire on va poser hué gallix -1 et on va faire un changement de variables comme on les a faits précédemment on dérive eu par rapport à xd eu sur des x c'est la fonction constante égal à 1 ce qui nous donne que des u est égal à dx donc ça c'est pratique a reçu ce titre et je vais pouvoir mettre tout simplement dua la place de dx sans prendre aucune autre précaution maintenant on va s'occuper des bornes lorsque x égal 1 lorsque x égal 1 u est égal à combien c'est x - 1 c'est donc 1 - 1 ça fait zéro et lorsque x égal 2 u est égal à combien mahut est égal à 2 - 1 x mens et 2 - 1 donc ça fait 1 et donc est donc mon intégral va être une intégrale de 0 à 1 lorsque je vais l'exprimer en fonction de u j'ai juste un tout petit problème c'est qu'est-ce que je fais du x + 3 parce que l'idée c'est de transformer une intégrale en fonction de x en une intégrale en fonction de lui il n'est pas question d'obtenir un calcul d'intégrale où les x et les hurons ce mélange et donc non x + 3 il va falloir aussi que je l'exprimé en fonction de lui alors l'idée pour faire ça c'est de dire que si huet égal à x - 1 alors un x est égal a eu plus un là je fais une petite opération d'algèbre j'ajoute un des deux côtés et j'obtiens x est égal à eu + 1 ce qui me permet d'exprimer x en fonction de i2 eu et deux à chaque fois que je vois x 2 m e +1 et de cette manière là j'aurai je vais pouvoir écrire une intégrale dont les bornes et dont la fonction à l'intérieur va être entièrement en fonction de lui et je vais pouvoir la calculer plus facilement donc qu'est-ce que je vais obtenir comme intégral je vais obtenir l'intégrale comme nous avons dit de 0 à 1 2 attention c'est plus xc eu plus un ver en place x paru plus sain et je rajoute le plus 3 fermons la parenthèse et x - on a dit que c'était eu donc ça va être une puissance 5 et dx on a dit que c'était la même chose que des u dont je vais avoir des u donc c'est l'intégrale de 0 à 1 de hull plus en plus trois fois le puissant 5 des e bonds à ce stade là quand on voit un +3 aux mecs ça fait 4 c'est la chose la plus naturelle donc c'est l'intégrale entre 0 et 1 de hull plus quatre fois le puissant 5 des e u et ça je vais le faire comme on avait envisagé de faire la première intégrale en développant tout si ce n'est que cette fois le développement de cette expression est beaucoup plus facile que de développer l'expression on avait au départ en fonction de x et donc allons-y c'est l'intégrale 2 012 on développe ça fait huer puissant 6 + 4 puis 105 des eu et là on prend on prend une primitif de cette fonction très facilement alors ça va être la primitive de la puissance 6 et u puissance 7 sur 7 la prime la primitive de le puissant cinq cellules puissance si sûr si c'est ça je vais avoir donc 4/6 de la puissance 6 et 4/6 se simplifiant deux tiers de une puissance 6 donc la primitive que je trouve ces puissants 7 sur 7 + 2/3 de l'ue puissance 6 ceci à prendre entre 0 et 1 et donc il reste plus qu'à substituer pour terminer le calcul lorsque je substitut 1 ça fait un septième +2/3 et lorsque ce substitut 0 ça fait zéro donc c'est même pas la peine de l'écrire le résultat de mon calcul d'intégrale c'est un septième + 2/3 ans et y est ça se convertit en 21e ça ça fait 3 21e plus 14/21 ce qui fait au total 17 21e