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Cours : 6e année secondaire - 4 h > Chapitre 9 

Leçon 1: Évaluer une intégrale définie à l'aide d'une primitive

Calculer une intégrale définie en faisant un changement de variable

Le principe de la méthode du changement de variable pour calculer une intégrale définie est le même que pour une intégrale indéfinie. Mais dans le cas de l'intégrale définie, il faut tenir compte des bornes d'intégration (ce qui n'avait pas lieu d'être pour une intégrale indéfinie). Prenons comme exemple le calcul de 122x(x2+1)3dx.
2x est la dérivée de x2+1, donc la méthode du changement de variable s'applique. On pose u=x2+1, et donc du=2xdx. On obtient :
122x(x2+1)3dx=12(u)3du
Mais cette égalité est fausse. Les bornes de l'intégrale à calculer sont 1 et 2, ce qui signifie que x [1,2], Mais, après le changement de variable, on intègre non par rapport à x, mais par rapport à u, donc les bornes d'intégration ne peuvent pas être les mêmes. Pour s'en convaincre, on peut faire un graphique. L'intégrale à calculer est l'aire du domaine délimité par l'axe des abscisses, les droites d'équations x=1 et x=2 et la courbe d'équation y=2x(x2+1)3 :
Function y = the square root of x is graphed. The x-axis goes from 2 to 1. The graph is a curve. The curve starts at (3, 0), moves upward concave down, and ends at (2, 2). The region between the curve and the x-axis, between x = 500 and x = 1, is shaded.
L'aire du domaine délimité par l'axe des abscisses, les droites d'équations x=1 et x=2 et la courbe d'équation y=u3 est-elle la même ?
Functions y = 2 x left parenthesis x squared + 1 right parenthesis cube and y = u cubed are graphed together. The graph of y = u cubed starts in quadrant 2, moves upward away from the x-axis and ends at about (3, 27).
En représentant dans le même repère la courbe d'équation y=2x(x2+1)3 et la courbe d'équation y=u3, on voit que les deux aires sont très différentes !
La variable a changé donc les bornes d'intégration doivent changer. Il faut calculer les valeurs de u=x2+1, lorsque x=1 et x=2 :
  • Borne inférieure : 12+1=2
  • Borne supérieure : 22+1=5
Donc,
122x(x2+1)3dx=25(u)3du
Functions y = 2 x left parenthesis x squared + 1 right parenthesis cube and y = u cubed are graphed together. The x-axis goes from negative 1 to 6. Each graph moves upward away from the x-axis. The first function ends at (2, 500). The region between the curve and the x-axis between x = 1 and x = 2 is shaded. The second function ends at about (6, 210). The region between the curve and the x-axis, between x = 1 and x = 5, is shaded. The 2 shaded regions look similar in size.
En mauve sur ce graphique l'aire du domaine délimité par l'axe des abscisses, les droites d'équations u=2 et u=5 et la courbe d'équation y=u3. Les aires des deux domaines sont égales (ce que l'on peut concevoir même s'il est difficile de le prouver graphiquement !).
On termine le calcul :
25u3du=[u44]25=544244=152,25
A retenir : Quand on fait un changement de variable pour calculer une intégrale définie, il faut tenir compte des bornes d'intégration.
Exercice 1
Alice devait calculer 15(2x+1)(x2+x)3dx. Voici son travail :
Étape 1 : On pose u=x2+x
Étape 2 : du=(2x+1)dx
Étape 3 :
15(2x+1)(x2+x)3dx=15u3du
Étape 4 :
15u3du=[u44]15=544144=156
A-t-elle fait une erreur ?
Choisissez une seule réponse :

Exercice 2
1215x2(x37)4dx=?
Choisissez une seule réponse :

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

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