Intégration par changement de variable

bien dans cette vidéo on va essayer de trouver là les primitives de la fonction qui a x associe 3 x au carré + 2 x x e puissance x cube plus x au carré et donc comme on l'a vu auparavant les primitifs de cette fonction vous nous être donné par le calcul de l'intégrale de ce que je veux ax on va dire 2-0 à x puisque cette fonction et des signes et définit surtout terre l'intégrale de zéro à x2 3t au carré plus de thé impuissance t cube plus d'écart et d'été voilà ben il ya nous expliquer à calculer cette intégrale comment est-ce qu'on va bien pouvoir ferme une fonction assez compliqué on pourrait se dire c'est le produit de fonction on va intégrer par partie d'accord quand on dérive 3t au carré plus de thé effectivement ça nous donne une dérive et qui est un petit peu plus simple le problème c'est que c'est trouver une primitive d'impuissance t cube plus d'écart et ça c'est pas facile ça c'est pas facile et je ne pour tout dire je n'ai pas la moindre idée de comment on fait il ya quelque chose d'un petit peu plus simple il y à une nouvelle technique que je vais te montrer que nous allons faire qui s'appelle la technique du changement de variables nous allons opérer un changement de variables nous n'allons pas travailler avec cette variable tait parce que ces deux variables t elle nous donne une fonction à l'intérieur de l'intégrale qui est beaucoup trop compliquée à calculer et on si on prête attention quand même à cette fonction remarque quelque chose on remarque que le 3 et carré plus de thé que nous avons là eh bien c'est exactement la dérive et de thé cube plus d'écart et que nous avons par ici alors on remarque que dans cette grosse fonction compliqué y apparaît qu qu' un petit bout qu'il a dérivé d'un autre petit bout alors ça c'est un signal quand quand tu observes ça dans une intégrale à calculer tu te dis là je fais un changement de variables un changement de variable c'est-à-dire qu'au lieu de travailler avec une la variable têtu va poser tu va définir une voie d'autres variables qu'on va appeler eu et tu vas dire que eu ctq plus d'écart et crc la fonction c'est le petit bout de fonction dont tu a reconnu la dérive et et peut-être tu vois pas maintenant mais ça va considérablement nous simplifier les choses et ça va même nous résoudre le problème pourquoi voilà ce qu'on va faire on veut on pose une égale t cube plus tu es carré et on va dériver cette fonction pq plus tu es carré et on va écrire la dérive et comme l'écrivent les physiciens et tu vas comprendre pourquoi tout de suite on va pas écrire une prime on va écrire des u sur d'été comme l'écrivent les physiciens des u sur d'été c'est la dérive et de u par rapport à la variable t1 tu sais dérivés cette fonction c3t au carré plus de thé d'accord et on va s'arrêter un petit peu sur pourquoi les physiciens écrivent ça comme ça d u sur dd qu'est ce que c'est des us dire c'est un petit changement dans la valeur de eu et d'été c'est un petit changement dans la valeur de t c'est à dire que quand on divise un petit changement dans la valeur de lui par un petit changement dans la valeur de t eh ben on obtient ce qu'on appelle on obtient ce qu'on appelle un coefficient directeur l'acheteur on voit tes cours sur les dérivés et le coefficient directeur c'est c'est par définition c'est la dérive est d'accord et donc des us et 1 c'est un nombre un nombre tout petits qui représente un petit changement sur la valeur de u et donc d u sur d'été ça peut être interprété comme une fraction la division de nombre très petit mais la division de nombre est comme ça peut être interprété comme une fraction je peux multiplier sa part le dénominateur de la fraction je peux très bien écrire que ça ça entraîne que des eu le petit changement dans la valeur de us est égal à 3 t au carré plus de thé x d'été voilà donc que ça c'est une vois ça comme une simple opération algébrique qu'on fait sur des fractions et en quoi ça m'aide ça ça m'aide parce que si tu regarde de nouveau l'intégrale qu'on cherche à calculer tu as à l'intérieur trois thés au carré plus de thé x d'été ici là et tu va donc te dire que tout ça tu va le remplacer par des u on va le remplacer par des u tu comprends on veut écrire l'intégrale une fonction beaucoup plus simple mais qui soit fonction de eurent lieu d'être fonction de tes et le e puissance t cube plus d'écart et ça va devenir puissance us puisque t cube plus d'écart et c'est ce qu'on a appelé eu donc on va avoir l'intégrale deux puissants sud est eût et ça c'est une intégrale beaucoup plus facile maintenant il nous reste un petit problème à il nous reste un petit problème à régler avant de pouvoir écrire intégral c'est le problème des bornes lorsqu'on écrit dans notre intégral d'origine intégrale de zéro à x ça veut dire l'intégrale pour tes variant de 0 à x de thé égal zéro jusqu'à tes gallix alerté lorsqu'il farhi 2-0 à x comment va riu parce que moi je veux une intégrale en fonction de lui et ça m'intéresse pas que tu aies varie de 0 à 10 de savoir de combien à combien varie eu et bien ça c'est ce que nous allons calculer très simplement substituant 0 et x dans l'expression de lui nous allons dire que lorsque tu es égal zéro alors eu est égal à bien cette équipe plus d'écart et c'est égal à 0 occupe lui 0 au quart est donc qu est égal à zéro aussi et lorsque tu es et gallic lorsque tu es atteint la borne supérieure qu'il est égal à x et bien eu est égal à quoi at et occupe plus tu es au carré donc eu est égal à ixxo cube +6 au carré et donc ma nouvelle intégrale que je vais écrire et qui va me donner la primitive de la fonction que je cherche c'est l'intégrale non plus de 0 à x mais comme je viens de le voir de 0 à 1 ce cube +6 au carré 2e puissance ce qui à l'exposant de 1c eu on l'a reconnue donc deux puissants su multiplier bain par ben tout le reste c'est des eu x dehu les l'intégrale de zéro à x cube +6 au carré d'impuissance eu foi des eu et cette intégrale là ne pose aucun problème parce que eux puissance us est pas un problème dit trouver une primitive impuissance eu sa primitive s'est lui-même ses impuissances eu puisque la fonction exponentielle c'est sa propre primitive et c'est sa propre dérive est d'accord donc ça je peux dire que c'est égal à un puissant su apprendre entre 0 et x cube plus 6/4 et donc je vais substituer x que plus 6/4 et je substituer 0 je vais faire la différence entre les deux comme on fait en calculant les intégrales et ça nous donne donc eu puissance x cube plus 6/4 et moins de puissance 0 donc que je peux écrire - 1 est là pour obtenir j'ai trouvé une primitive de cette fonction de la fonction que je cherchais et pour obtenir toutes les primitifs de cette fonction eh bien il suffit maintenant de faire varier la constante au lieu de mettre moins un rond mais plus c est donc tout les primitives de cette fonction les primitifs de la fonction données vont être de la forme impuissance x cube +6 au carré plus c'est