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Ces égalités sont-elles des identités ?

On analyse, étapes par étapes, deux développements effectués par un élève .

Transcription de la vidéo

bonjour dans cette vidéo on va essayer de regarder de manière critique comment est ce que quelqu'un a fait un calcul manipuler à des polynômes pour les transformer ici on part d'un polynôme 4x - 3 x x - 2 au carré est probablement la personne l'a développée ici développé et réduit pour toi même ça sera très utile parce que tu vas pouvoir te relire plus efficacement puis ça peut être aussi très utile par exemple quand tu lis un texte mathématiques une démonstration ou quelque chose et on te dit ah bah oui alors je passe de cette étape à cette étape et donc ça sera très intéressant de comprendre si oui on peut passer d'une étape à l'autre alors je te laisse regarder toutes ces étapes et puis ensuite on se retrouve et on va étudier ça ensemble alors la première étape ce que la personne a fait c'est qu'elle a développé cette expression la xe - 2e au carré est la ré écrite comme x - 2 x x - 2 donc effectivement ce polynôme ci est bien égal à celui ci a aucun problème ça c'est bon alors ensuite pour passer de l'étape 1 à l'étape 2 que cette personne a fait s'est développé ce polynôme en utilisant probablement la double distributive it et donc on va regarder si c'est juste on a déjà x x x qu'on retrouve ici c'est x au carré donc ça c'est bon et puis ensuite en ax fois moins de ici donc il soit -2 ça fait moins 2 x qu'on retrouve ici et donc ça c'est bon ensuite elle a fait moins de x x - 2 x x ici et donc moins 2 x x a fait moins 2 x qu'on retrouve là donc ça c'est bon jusque là et puis ensuite moins deux fois moins deux ici donc moins deux fois moins deux ça fait plus 4 qu'on retrouve ici donc est tout à fait juste ya aucun problème donc ça c'est une bonne étape ici aussi alors ensuite à l'étape 3 elle a tout simplement réduit ce polynôme qui est dans cette parenthèse et donc on a x au carré - 2x moins 2 x + 4 qu'elle a écrit comme x au carré - 4 x + 4 effectivement c'est simplement ces deux termes là - 2x moins 2 x qu'on retrouve ici c'est bien moins 4 x donc cette étape-là est juste aussi maintenant on va regarder ce qu'elle a fait pour passer de l'étape 3 à l'étape 4 alors là probablement ce qu'elle a fait c'est développer cette expression là en utilisant la double distributive it et donc on va vérifier ses calculs déjà il ya 4 x x x au carré ça donne 4 x au cube qu'on retrouve ici donc ça c'est juste ensuite il ya 4 x fois moins 4 x ça fait donc moins 16 x au carré qu'on retrouve là ça c'est juste aussi ensuite il ya 4 x x 4 4 x x + 4 ça fait donc plus 16x qu'on retrouve ici et ça c'est juste aussi ensuite il y a alors je vais prendre une autre couleur il ya ceux moins trois qu'on va distribuer au terme de la parenthèse donc on va avoir moins 3 x x au carré ça donne moins 3 x o car est qu'on retrouve ici ça c'est juste ensuite moins trois fois moins 4 x moins trois fois moins 4 x alors elle a écrit 6 - 12 x mais moins 3 fois moins 4 x il faut faire attention parce qu'en fait elle s'est trompée de signes ici ça fait donc moins trois fois moins quatre ça fait plus 12x si en fait là il ya une erreur ici dans cette ligne là puisque elle a mis 1 - alors que c'était un plus ici donc probablement on va continuer à vérifier ça mais probablement cette erreur là s'est retrouvé dans la ligne suivante très certainement on va regarder ça tout à l'heure en tout cas ce qui nous restait à faire c'était ce produit-là moins trois fois plus quatre mois trois fois plus 4 ça fait bien moins 12 qu'elle a écrit ici donc ça c'est juste alors dans la ligne à l'étape 5 elle a réécrit le premier terme 4x occupe ici donc ça c'est bon ensuite elle a dû condenser les termes en x o car est donc à moins 16 x au carré - 3 x au carré ici ça fait bien moins 19 fixe au carré ça c'est juste et puis ici c'est cohérent par rapport ce qu'elle avait écrit à l'étape 4 + 16 x - 12 x ça donnait bien plus 4 x ici mais comme elle avait fait une erreur au dessus en fait la réfection il ya une erreur c'est pas plus 4x ce terme là est faux puisque ce qu'on doit avoir c'est plus 16 x + 12 x c'est à dire plus 28 x et puis ensuite il ya le moins 12 qu'elle a laissé ici donc ça c'est très bien voilà donc tu vois c'est intéressant parce que elle a fait des calculs tout à fait cohérent mais elle s'est trompée à un moment dans les signes ici à cette étape là et du coup la dernière étape qui est tout à fait cohérente avec les résultats qu'elle avait obtenu à l'étape 4 et bien quand même faut puisque elle a fait cette erreur à l'étape 4 donc elle retrouve son erreur à l'étape 5 alors on va continuer à travailler comme ça sur les ex les identités algébrique un donc je vais effacer tout ça et on va faire cet exercice là qui vient de la khan academy alors ici on nous demande si les égalités a et b sont des identités alors on a ces deux égalités ac a + b x 2 et 2 à +1 qui doit être égale à a fois deux à plus de bplus 1 et puis la deuxième n + 2 au carré - nd au carré égale 4 x n + 1 donc là se demandaient si c'est égalité là sont des identités au fond c'est se demander si on a droit de mettre un signe égal entre les deux membres de cette égalité c'est à dire si effectivement c'est vrai que a + b x 2,2 à +1 est égal à ça donc pour ça ce que je peux faire c'est manipuler séparément les deux membres de mon égalité et puis voir si j'arrive à montrer que ce sont les mêmes donc je vais travailler sur le premier membre le membre de gauche a + b x 2 à +1 ça je vais le développer en utilisant la double distributive it et donc je vais avoir à foix 2 art à foix 2 a donc ça ça me donne deux à au carré plus à foix 1 à foix 1 donc ça c'est à foix un ca puis ensuite j'ai plus b x 2 a donc plus je vais l'écrire comme ça des fois deux ac2a b plus des fois un donc plus b la gelée complètement développés je vais essayer de faire la même chose avec le membre de droite ici donc je verrai écrire alors c'est à facteur de 2 à plus de b + 2 b + 1 et donc je vais distribuer le facteur a à tous les termes donc je vais avoir ici déjà à foix 2 à c'est-à-dire 2 à o car est plus à foix ii b donc ça c'est 2 à p plus à x 1 plus à x 1 donc plus ça alors voilà j'ai développé mes deux expressions et en fait ce que je peux vous remarquez tout de suite c'est qu'elles sont pas égales puisque ici g2a au carré que je retrouve ici j'ai un plus à que je retrouve là j'ai un + 2 ab que je retrouve ici mais j'ai ce plus b ici que je ne retrouve pas dans le membre de droite donc cette égalité l'aa n'est pas une identité en fait a + b x 2 à +1 est différent de à foix 2 à plus de bplus 1 donc ça c'est pas une identité alors je vais faire exactement la même chose avec la deuxième égalité qu'on propose donc gn +2 au carré - n car et aux membres de gauche alors cette expression l'a déjà n + 2 au carré cn au carré +4 n + 4 ça c'est une identité remarquable et ensuite j'ai moins n au carré qui est ce terme là qu'il faut bien sûr pas oublié alors maintenant bon les haines au carré c'est ça nul 1-1 au carré - n au carré et ce qui me reste c'est quatre fois n + 4 et ici je peux soit développé le membre de droite ici pour l'exprimer et on veut tu verras que c4n +4 et mais sinon je peux aussi me rendre compte qu'ici j'ai un facteur commun qu'est 4 et donc je vais le mettre en facteur ça me donne quatre fois n + 1 donc effectivement cette égalité là c'est une identité puisque quand je manipule cette expression là en la développant et refactorisation je trouve exactement l'expression qui est aux membres de droite donc ça c'est une identité voilà à bientôt