Limite d'une fonction trigonométrique en utilisant une identité trigonométrique (identité de Pythagore)

dans cette vidéo on va essayer de calculer la limite de cette fonction-là qui implique des fonctions caussinus et sinus donc des fonctions trigonométriques limites quand x tend vers zéro de 1 moins qu'au 6 sur deux sinus carré de x alors pour aborder ça on peut déjà commencer par se dire qu'ici on a un quotient de deux fonctions donc on peut utiliser le fait que la limite d'un quotient c'est le quotient des limites et du coup cette limite là on peut la réécrire comme ça on peut dire que c'est la limite quand x tend vers zéro du numérateur donc 1 - caussinus x / la limite quand x tend vers zéro de deux fois in us car et 2x il a au numérateur on a une fonction qui est continu sur tout l'ensemble des réelles donc la limite quand x tend vers zéro 2-1 - caussinus x eh bien ça sera l'image de 0 par cette fonction donc pour la calculer il suffirait de calculer un moins qu'au 6 ans remplaçant x par zéro donc ça serait un mois caussinus 0 cosigne 0 ça fait un don qui si le numérateur tendrait vers 1 - 1 c'est-à-dire 0 ça c'est donc ce numérateur ici et puis au dénominateur on nous cherche la limite quand x tend vers zéro de cette fonction-là 2 sinus carré 2x et cette fonction là elle est continue également en 0 l et continue sur tout l'ensemble des réelles donc comme tout à l'heure et bien pour calculer la limite il suffit de remplacer x par ce héros et on obtiendra 2 sinus carré 2 0 et comme si luce 2 0 est égal à zéro ici on aura deux fois 0 c'est-à-dire 0 donc le numérateur i see it en a zéro aussi et ça finalement c'est un peu embêtant puisque du coup notre limite et bien ça serait 0 / 0 et ça c'est ce qu'on observe ce qu'on appelle une forme indéterminé de type 0 / 0 et dans ce cas là on ne peut pas calculer la limite comme ça directement alors attention je répète j'ai déjà dit dans plusieurs vidéos ça ne veut pas dire qu'il faut s'arrêter là et conclure qu'on ne peut pas calculer cette limite ou bien que cette limite n'existe pas ça veut tout simplement dire qu'il faut trouver une autre manière de la calculer alors on va le faire on va essayer de lever cette indétermination qui est ici alors la fonction qu'on acf 2x je vais l'écrire ici c'est tout ça c'est cette expression là donc c'est un moins caussinus x sur deux sinus carré de x alors on va essayer de transformer cette expression là pour le vel'in détermination qu'on a rencontrés ici et pour ça une bonne idée c'est d'essayer d'utiliser les identités trigonométriques relation trigonométriques qu'on connaît et là j'en vois une assez facilement qui ferait intervenir le sinus carré on sait que sinus carré 2x plus caussinus carré de x c'est égal à 1 ça c'est une version du théorème de pythagore tout simplement dans le cercle trigonométriques et donc ça veut dire que sinus carré de x c'est un moins caussinus carré de x ça veut dire que je peux réécrire ma fonction comme ça c'est un moins caussinus x / x 1 - caussinus carré de x hélas quand on l'écrit comme ça peut-être que ça aide un petit peu à voir ce qu'il faudrait faire en fait ici au dénominateur d' entre parenthèses j'ai quelque chose d'assez intéressant j'ai une différence de carré et je sais que c'est une identité remarquable encore ga au carré - b au carré et bien ca - b x a + b ici à ses seins et bc caussinus carré donc je vais pouvoir factoriser en fait un moins caussinus carré de x je vais l'écrire comme ça c'est un moins caussinus x facteur de 1 plus caussinus x l'ag plus beaucoup de place et là on a avancé beaucoup alors je vais écrire ça donc ça me donne un mois caussinus x / deux fois 1 - caussinus x fois un plus caussinus x et là on peut s'apercevoir que au dénominateur et au numérateur il ya un moins cosim 6 donc on peut diviser en haut et en bas par un mac os x et du coup on obtient cette relation là cette expression là pour notre fonction f qui est un sur deux fois un plus caussinus x alors je peux même développé le numérateur en fait ça va me donner deux fois deux fois 1 ça fait deux plus deux fois caussinus x alors lâché 2 a fait souvent ce genre de remarque quand on simplifie comme ça une expression c'est qu' il faut faire attention puisque ici notre fonction f elle n'est pas défini pour x égal zéro puisque dans ce cas là cygnus x est égal à zéro donc on aurait une division par zéro ce qui est impossible alors que l'expression que j'ai obtenus ici et bien elle est tout à fait défini pour x égal zéro puisque on peut remplacer ici x par 0 caussinus x a fait un don qu'on aurait ici un quart 1 sur 2 + 2 c'est-à-dire un quart donc cette expression que j'ai obtenus ici qui est beaucoup plus simple que celle là et bien en fait elle n'est pas exactement égal à notre fonction ce qu'il faut faire pour que cette fonction-là soit exactement égal à notre fonction aide de départ c'est précisé que cette expression là elle est valable pour x différents 2 0 dans ce cas là cette expression là n'est pas défini pour x égal zéro celle là non plus et les valeurs de ces deux expressions sont exactement les mêmes pour toutes valeurs de x différentes 0 donc ce sont bien les mêmes fonctions une fois qu'on a ajouté cette condition là cette fonction là est bien égale à notre fonction f de départ alors là c'est peut-être un petit peu perturbant gelé déjà dit plusieurs fois dans d'autres vidéos puisque ce qu'on doit calculer nous c'est la limite alors je vais leur écrire ici la limite quand x tend vers zéro de f2 x1 et le fait qu'on est remplacé par cette expression là et bien tu peux avoir l'impression que ça va pas beaucoup nous aider puisque de toute façon cette fonction là venez pas non plus défini pour x égal zéro mais en fait c'est quand même la solution puisque là je peux en quelque sorte prolonger la fonction f par continuité et j'obtiens une fonction j'ai g2x qui égale tout simplement à un sur deux plus de cosinus de x celle là elle est définie en x égal zéro et elle coïncide avec la fonction f pour toutes xe différentes 0 1 mais ce qui est important c'est que la limite quand x tend vers zéro de notre fonction f eh bien ça sera quand même la limite quand x tend vers zéro 2 j'ai 2 x roger continue pour x égal zéro et bien à ce moment là cette limite là c'est tout simplement g20 g20 et g20 et bien c'est égal à 1 sur on l'a déjà dit tout à l'heure deux plus deux fois caussinus 2-0 caussinus de 0,7 et gala donc ça fait 1 sur 2 + 2 c'est-à-dire un quart et donc tu vois que là on a terminé on a réussi à contourner cette forme déterminer qu'on avait au départ et à calculer la limite quand l'x tend vers zéro de notre fonction qui est un nombre fini c'est un quart alors tu peux quand même te dire mais en fait c'est pas la peine d'introduire cette fonction j'ai il suffit qu'on on fasse les calculs qu'on a fait ici et puis qu'on calcule ensuite la limite de cette fonction là alors c'est vrai qu effectivement tu pourrais sauter ce passage là mais c'est quand même très important quand on fait des maths de savoir ce qu'on fait précisément est donc ici en toute rigueur on ne peut pas considérer que cette fonction là et cette fonction-là sont les mêmes si on ne rajoute pas cette contrainte là que x doit être différente 0 et dans ce cas là on est obligé de passer effectivement par une fonction j'ai qui est un prolongement de la fonction f par continuité