Limites en +∞ d'une fonction rationnelle dont l'expression comporte sin x ou cos x

bonjour dans cette vidéo on va essayer de calculer cette limite la limite quand x tend vers plus l'infini de cosinus hic sur x au carré - ça alors comme d'habitude mais la vidéo sur pause et essaye de le faire de ton côté et on se retrouve ensuite alors en fait il ya deux façons d'aborder cette question là le calcul de cette limite la première c'est de raisonner sur l'expression qu'on a ici et déjà on peut se dire que caussinus x en fait cette valeur là caussinus xv a oscillé entre -1 et un ça c'est parce que quel que soit le nombre x que tu prends caussinus x est plus petit que 1 est plus grand qu'eux - 1 donc effectivement le cosinus 2x quand x varient et bien caussinus x oscille entre -1 et un est ici dans ce cas là quand x grandi temps vers plus l'infini la valeur caussinus xv a oscillé entre -1 et donc ça c'est pour le numérateur et puis par contre le dénominateur lui quand x tend vers plus l'infini x o car est en verre plus un film x au carré - un temps vers plus cela finit donc ce dénominateur il tend vers plus l'infini donc ce qu'on a en fait c'est une valeur qui oscille entre -1 et 1 / une valeur qui grandit de plus en plus et donc dans ce cas là tu pourra en conclure que la limite c'est un surplus ce l'infini et donc on va diviser quelque chose qui est compris entre -1 et un par quelque chose de très très grands donc dans ce cas là tu peut en conclure que la limite est bien c zéro alors ça c'est une première façon il ya une deuxième façon qui est en fait le même raisonnement mais qu'on va faire de manière un peu plus rigoureuse et qui va utiliser le ce qu'on appelle le théorème des gendarmes mais le point de départ c'est toujours le même c'est de partir du fait que la fonction caussinus et bornés et qu'elle oscille entre -1 et donc quelle que soit la valeur de x on a connu 6 plus petit que 1 est plus grand qu'eux - 1 et puis maintenant mon ce qui se passe c'est que là on s'occupe des x qui sont très très grand on fait tendre x a plus l'infini donc en particulier on peut considérer que x est bien plus grand que 1 et donc dans ce cas là x au carré - 1 est supérieur à 0 donc ce que je vais faire c'est diviser cette inégalité là par ixo carré - qui est positif donc le sens de l'inégalité ne va pas changer et je vais obtenir sa - 1 / x au carré - 1 est plus petit que caussinus x sur x au carré - 1 qui est plus petit que / carrez - 1 donc ça c'est une inégalité qui est vrai qu'en les valeurs de x sont suffisamment grandes ans en fait elle est vrai pour toutes les valeurs de x tel que valeur absolue 2x est supérieur ou égal à supérieur strictement un pardon si valeur absolue de x est plus petit que 1 1 il aurait fallu changer le sens des inégalités en tout cas voilà c'est ce qui nous intéresse ici et maintenant on va utiliser le théorème des gendarmes qui nous dit que si ça c'est vrai alors quand on passe à la limite quand x tend vers plus l'infini on garde le même ordre c'est à dire que la limite quand x tend vers plus l'infini 2 - st sur x au carré - 1 est plus petite que la limite quand x tend vers plus l'infini de cosinus x sur x carré - 1 qui est plus petit elle même que la limite quand x tend vers plus l'infini 2 1 sur x au carré - 1 et maintenant on peut regarder les limites qui encadre la limite qu'on recherche ici quand x tend vers plus infinie le dénominateur tend vers plus infinie donc on divise moins un parent quelque chose qui est de plus en plus grands et donc cette limite là elle est égale à zéro ensuite on à la limite qu'on cherche à déterminer la limite quand x tend vers plus l'infini de cosinus x sur x au carré - 1 et ça c'est plus petit que cette limite là alors cette limite là quand x d'anvers plus l'infini et bien x au carré - un temps vers plus l'infini et comme tout à l'heure on divise ici un par un nombre de plus en plus grand donc cette limite là est égal à zéro donc tu vois que on encadre la fonction dont on cherche à calculer la limite entre deux fonctions qui ont la même limite qui est égal à zéro et donc on peut en déduire que la limite quand x tend vers plus la philly de cosinus x sur x au carré - 1 est égal à zéro aussi