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Cours : Limites et dérivées > Chapitre 1 

Leçon 2: Détermination graphique des limites à droite et à gauche en un point
Mathématiques
Limites et dérivées
Limites et continuité
Détermination graphique des limites à droite et à gauche en un point
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Déterminer graphiquement la limite en un point

Google Classroom
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La limite en un point et la valeur de la fonction en ce point peuvent être différentes. Regardez ce graphique :
A function is graphed and animated. The x-axis goes from 0 to 3. The graph is a curve that starts at (0, 0.5), moves downward through an open circle at about (2, 0.25). A cursor moves a point on the curve toward the open circle from the left and the right. Values get close to 0.25. At the open circle, the coordinate displays as (2, undefined).
Ci-dessus un graphique réalisé sur desmos.com pour étudier limx→2x−2x2−4.
Lorsque x se rapproche de 2 aussi bien par valeurs inférieures que par valeurs supérieures, son image par la fonction se rapproche de 0,25.
La fonction n'est pas définie en 2, mais sa limite quand x tend vers 2 existe et elle est environ égale à 0,25.
Gardez à l'esprit que le graphique permet de déterminer une valeur approchée d'une limite, mais pas toujours sa valeur exacte.

Exemples

Voici d'autres exemples.

La limite d'une fonction en un point est parfois égale à la valeur de la fonction en ce point.

Exercice 1
Étudier limx→1g(x). Cette limite existe-t-elle ? Si oui, en donner une valeur approchée.
Function g is graphed. The x-axis goes from negative 8 to 8. The graph consists of 1 curve. The curve starts at about (negative 7, negative 8) and moves upward through a point at x = 1 between y = negative 1 and y = negative 2, closer to y = negative 1. The curve ends in quadrant 1.
Choisissez une seule réponse :

Mais la limite d'une fonction en un point peut aussi être différente de la valeur de la fonction en ce point.

Voici un exemple.
Exercice 2
Étudier limx→1g(x). Cette limite existe-t-elle ? Si oui, en donner une valeur approchée.
Function g is graphed. The x-axis goes from negative 8 to 8. The graph consists of a curve and a closed circle. The curve starts at about (negative 8, 6), moves downward to about (negative 3, 3.5), and moves upward through an open circle at x = 1, just above y = 4. The curve ends in quadrant 1. A closed circle is plotted at x = 1, just below y = 2.
Choisissez une seule réponse :

A retenir : la limite en un point peut être différente de la valeur de la fonction en ce point.

De même, une fonction peut ne pas être définie en un point et avoir une limite en ce point.

En voici un exemple.
A function is graphed. The x-axis goes from negative 3 to 3. The graph is a U-shaped curve that starts at about (negative 2.5, 4), moves downward to an open circle at (0, 1), moves upward, and ends at about (2.5, 4).
Cette courbe est celle de la fonction x↦x/sin(x). Elle n'est pas définie en 0, donc le point d'abscisse 0 est entouré d'un cercle vide.
On lit sur le graphique que lorsque x tend vers 0 aussi bien par valeurs inférieures que par valeurs supérieures, les valeurs de la fonction se rapprochent de 1, donc la limite de la fonction en 0 est égale à 1. La fonction n'est pas définie en 0, mais elle a une limite en 0.
Voici un exercice.
Exercice 3
Étudier limx→−4f(x). Cette limite existe-t-elle ? Si oui, en donner une valeur approchée.
Function f is graphed. The x-axis goes from negative 8 to 8. The graph consists of a curve. The curve starts in quadrant 2 and moves downward through an open circle at x = negative 4, just above the grid line for y = 3. The curve ends in quadrant 4.
Choisissez une seule réponse :

Idée-clé : La fonction n'est pas définie en −4, mais on peut lire sur le graphique ce que deviennent ses valeurs lorsque x se rapproche de −4 aussi bien par valeurs inférieures que par valeurs supérieures.

Une fonction peut être définie en un point et ne pas avoir de limite en ce point.

Voici une fonction définie par morceaux.
Exercice 4
Étudier limx→3g(x). Cette limite existe-t-elle ? Si oui, en donner une valeur approchée.
Choisissez une seule réponse :

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

N'hésitez pas à utiliser un grapheur ou une calculatrice graphique

Les logiciels de calcule formel, par exemple Desmos, ou les calculatrices graphiques sont très utiles pour étudier l'existence d'une limite et/ou en conjecturer une valeur approchée. Essayez avec ces deux limites :
limx→0xsin⁡(x)limx→3x−3x2−9
Dans les deux cas, la fonction n'est pas définie au point où on étudie sa limite, mais le graphique permet de voir que cette limite existe et permet aussi de conjecturer sa valeur.

Deux questions

Exercice 5
Est-il vrai que quelle que soit la fonction f et quel que soit le réel a, limx→af(x)=f(a) ?
Choisissez une seule réponse :

Exercice 6
Laquelle de ces affirmation est vraie ?
Choisissez toutes les réponses possibles :

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