Exemple : fonction non continue en un point

alors je te propose cette fonction-là cette fonction f qui était fini comme çà c'est logarithme naturel de x quand hicks est strictement supérieur à 0 est inférieure ou égale à 2 et puis y cx au carré fois logarithme naturel de x quand hicks est strictement supérieure à 2 donc c'est une fonction qui est définie par morceau et on va essayer de calculer la limite quand x temps vers 2 de cette fonction lors ce qui est intéressant avec cette valeur de ici c'est qu'en fait tu vois c'est là la frontière entre ces deux intervalles entre cet intervalle là et cet intervalle là effectivement si je devais tout simplement calculé l'image de deux par cette fonction donc la valeur f-22 et bien deux et dans cet intervalle là ici dans ce premier intervalle donc on pourrait très facilement calculer f-22 en utilisant l'expression dans cette branche là dans cette partie là donc f-22 ça serait logarithme naturel de 2 mais bon là ce qu'on veut faire c'est pas calculer la valeur l'image de deux par cette fonction mais c'est déterminer la limite quand x temps vers 2 de aef 2x et ça c'est pas forcément la même chose parce qu'on ne sait pas si cette fonction et continuent quand x temps verts 2es en fait ce qu'on doit faire c'est regarder si la limite quand x temps vers 2 par la gauche ici de la fonction f existe et puis regardez ensuite si la limite quand x temps vers 2 par la droite donc dans cette partie là existe aussi et enfin si ces deux limites là existent et bien il faut regarder si elles coïncident si elles sont égales elle dans ce cas là seulement on pourra déterminer la limite quand x temps vers de de la fonction f alors c'est ce qu'on va faire je vais regarder déjà la limite à gauche donc la limite quand x temps verts 2 - c'est-à-dire par valeur inférieure à 2 2 la fonction f 2 x alors quand x temps vers 2 - x est plus petit que deux donc on est effectivement dans cette partie là de notre condition et donc finalement cette limite là ça sera la limite quand x tant vers 2 - de logarithmes naturel de x puisque dans cette partie là c'est comme ça que définie l'image de x par la fonction f alors là la fonction logarithme de xl est définie et continue pour x égal 2 donc ça c'est tout simplement la valeur de logarithmes 2x quand hicks est égale à deux donc c'est logarithme 2 2 maintenant on va calculer la limite quand x d'anvers 2 plus c'est à dire quand x temps vers 2 par valeur supérieure donc par la droite de la fonction f 2 x et du coup quand x temps vers 2 en étant supérieure à 2 on est dans cette partie là hein ce qui veut dire que dans ce cas là l'image de x par la fonction f le nombre f 2 x et bien c'est x au carré fois logarithme naturel de x donc ce qu'on doit faire ses calculs et la limite quand x temps vers 2 plus 2x au carré poids logarithme naturel de x et là encore une fois cette fonction là elle est tout à fait défini et continue en x égal 2 donc calculer cette limite là eh bien ça revient à calculer l'image de deux par cette fonction-là donc à remplacer ici x par deux alors c'est ce que je vais faire donc je l'obtiens de au carré voire logarithme 2 2 et ça ça me donne quatre fois logarithme 2 2 alors là c'est intéressant puisque la limite à gauche elle existe elle est finie la limite à droite existe est finie aussi mais ces deux limites ne coïncident pas la limite quand x temps vers 2 - 2 f 2 x n'est pas égale elle est différente de la limite quand x temps vers de plus de f2 x mais ça ça veut dire que finalement notre limite qu'ont cherché à calculer la limite quand x temps vers de la fonction f eh bien elle n'existe pas elle n'existe pas puisque les limites à droite et à gauche ne coïncident pas et ça en fait graphiquement ça voudrait dire si tu traçait la courbe représentative de f eh bien tu verrais qu'il ya un so so de discontinuité donc un point de discontinuité pour x égal 2 puisque quand hicks est égal à 2 f-22 c'est logarithme 2 2 mais quand hicks est égal à un tout petit peu plus que deux eh bien on passe à une valeur qui est proche de 4 fois loca rythme de 2 donc il ya un saut de discontinuité