Démonstration des propriétés du produit scalaire

dans la vidéo précédente on a introduit le produit scalaires et on a vu un peu comment ça se calculer et c est le but de cette vidéo c'est d'étudier un petit peu les les propriétés de ce produit scolaire et voir par exemple si c'est commutatif cissé distributif fils et associatifs etc donc on va commencer par la notion de commune ativités donc le premier point en fait c'est dire si j'ai le produit scolaire du vecteur v par le vecteur w est-ce que ça c'est égal au produit calais 1 du vecteur w par le vecteur vais pas le vecteur v est-ce que ça c'est vrai ça c'est la question que je pose alors pour calculer ça donc on va commencer par définir mon vecteur veymont vecteur v bon bah comme d'habitude je vais dire que c'est le vecteur v1 v2 et cetera jusqu'à vn voilà mon vecteur w je vais dire que c'est comme le vecteur wc w1 w2a etc jusqu'à w n ça c'est mes de veto et du coup si je suis le calcul le produit scalaires devait par w ça fait quoi ça fait v1 w1 plus v2 w2 plus etc et ça continue jusqu'à v nwn ça c'est la première partie et je vais changer de couleur maintenant pour calculer le produit scolaire w par vais donc w par v les lecteurs alors à quoi c'est égal donc là ça va dans le sens ça va être w 1 v1 plus w de v2 plus etc jusqu'à wnv n est alors ce qu'on remarque c'est que si on regarde terme à terme donc par exemple si on prend ce terme là le premier terme on voit que v 1 w 1 c'est la même chose que w 1 v1 parce que là on est sur des sur des scalaires donc on sait que v1 fois w1 c'est la même chose que w 1 x v un jeu marqué v1 w1 c'est égal à w 1 v1 ça quand on travaille avec des raies l'on se pose même pas la question en fait on le sait très bien donc ça c'est ce qu'on appelle la commune tati vite et ça c'est la commune tu as qui vit t est ce qu'on connaît très bien ce qu'on l'a on ne se pose pas du tout la question pour les réelles on se pose en fait la question pour le produit scolaires et les vecteurs et du coup le premier terme on sait les deux premiers terre on sait que son ego et on peut faire une chose pour les autres termes les deux deuxièmes terme sont égaux et c'est jusqu'au dernier terme donc on a bien que le produit scalaires devait par ewc même chose que le produit scolaire de w par vais donc la propriété de commutative ite et bien vérifier pour le produit et scolaire alors maintenant je peux faire la même chose la deuxième propriété importante à vérifier c'est la propriété de distribuer tivité donc qu'est ce que ça veut dire ça veut dire que si je prends le vecteur vais plus w et que je fais le produit scolaire de ce vecteur par le vecteur x j'ai défini un nouveau vecteur qui est le vecteur x donc la même façon x c'est égal à x1 x2 et cetera jusqu'à x men et du coup je veux savoir si le produit scalaires devait plus w par x c'est égal est ce que c'est la même chose que le produit scolaire devait par x plus le produit scalaires de w pas x donc ça je veux savoir si ça c'est vrai c'est ma question ça c'est ce qu'on appelle la notion ça c'est une notion de distributique vite et ça c'est la distributive ite distri but qui vite et ouais c'est là notre deuxième notion qu'on veut vérifier alors on va faire la même façon qu'elle est c'est quoi le vecteur vais plus w le seuil est calculé ce vecteur ce vecteur vais plus w c'est égal à coincer v1 plus w un pardon v2 plus w2 et jusqu'à vn plus w n donc si je fais le produit scalaires maintenant 2 je devais plus w paris x donc je vais calculer sa cv + w pour du scanner de ce vecteur pas x qu'est ce que ça va me donner ça va me donner v1 plus w 1 x x un plus v2 plus w 2 x x 2 et cetera jusqu'à vn plus w n soit x n ça c'est le produit scolaire devait plus w paris x et maintenant je peux calculer le produit scolaire devait par x donc le produit ce qu'elle est un devait par x v produisent quels seins devait paris x c'est égal on le sait c'est égal avait un x1 plus v 2 x 2 plus jusqu'à vnx haine et de la même façon le produit scolaire de w paris x donc produit ce qu'alain de w paris x c'est égal sans surprise à w 1 x un plus w 2 x 2 plus et cetera jusqu'à wnx n donc une fois que j'ai ça je peux calculer maintenant que vaut ce se fie donc que vaut le produit qu'alain devait paris x plus le produit scalaires de w paris x et si je fais ça j'obtiens que du coup cv produits scolaires devaient par x plus le produit scalaires de w paris x ça me donne v1 x1 plus w 1 x 1 + v2x de plus w 2 x 2 plus etc et on continue jusqu'à vnx n + wnx haine et on voit que c'est légal ça on peut dire que c'est égal à v un plus w 1 x x un plus v2 plus w 2 x x 2 plus etc jusqu'à vn plus x plus w n pardon fois xn et ça si on regarde ça c'est bien égal à ce qu'on a obtenu ici ça c'est bien égal à ça donc on a bien que v plus w produits scolaires devaient plus w paris x c'est bien égal au produit ce qu'elle 1,2 v paris x plus le produit scalaires de w par x donc j'ai bien ma propriété de distribuer tivité qui est vérifié cette propriété on vient de la vérifier alors ici on voit bon ces essais c'est beaucoup de calculs un d'accord on aurait pu faire les mêmes calculs pour démontrer les propriétés de l'addition de vecteurs et de la multiplication par un scalaire on aurait dû le faire d'ailleurs et si tu veux d'ailleurs tu pourra le faire et tu trouveras que ces opérations sont commutative et distributive voilà c'est important de le faire au moins une fois pour se rendre compte des calculs qu'il faut faire et pour savoir les faire donc juste il faut il ya une dernière propriété à vérifier qu est la propriété d'associate ivité donc je vais le faire ici l'associé du stv t c'est dire si j'ai un vecteur ses x v ou du scanner de ce vecteur par le vecteur w est ce que se produise keller là me donnait même chose que c'est c'est fois le produit keller v par w est-ce que les deux côtés est ce que cette égalité est vrai donc c'est la question qu'on se pose donc on va faire la même chose si on a donc c'est v entre parenthèses scalaires w c'est égal le vecteur cv c'est cv un cv 2 jusqu'à cvn et c'est le produit scanner de ce vecteur avec le vecteur w donc w1 w2a jusqu'à w n alors du coup à quoi c'est égal ce produit scalaires si on fait le calcul on a c'est v1 w1 plus c'est v2 w2 plus c'est plus par dont + etc jusqu'à cv nwn et on peut calculer le produit vectorielle donc c'est fois le produit vectorielle devait par w donc cette partie de l'égalité et du coup ça ça nous donne ses x v 1 w un plus v de w2 plus etc jusqu'à v nwn et donc ça si on distribue le sait dans la parenthèse c'est égal à cv 1w un plus c'est v2 w2 plus etc + cv nwn donc on a bien que ce qu'on a marqué ici c'est bien égal à ce qu'on a ici donc on a bien que cette égalité est vérifié cette égalité est bien vérifier et donc là comme je l'avais dit c'est la notion d' associative it et ça ça veut dire que le produit scalaires est un premier temps est un opération associative donc associative ite donc en résumé on a montré que le produit calais était commutatif on a montré qu'il était distributif et on a montré qu'il était associatif donc dans l'est dans l'est dans les vidéos prochaine on pourra utiliser ces trois propriétés du produit scolaire pour faire un peu plus de calculs sur sur des vecteurs