Exemple de dérivée d'une fonction vectorielle

ce que je vais faire dans cette vidéo c'est prendre un chemin est en fait considéré deux tamarins paramétrisation de ce chemin c'est à dire qu'en fait on va regarder une trajectoire et puis on va la parcourir de deux manières différentes alors j'espère que tu vas voir cette comparaison de t'aidera à comprendre mieux ce que c'est que la dérivée d'un d'une fonction vectorielle alors je vais commencer par prendre leur premier chemin avec une première paramétrisation donc je vais le définir comme ça l'app 6 x 2 t c'est donc une fonction de tes elle va être tout simplement définit comme saïx de tct et puis l'ordonné y de thé eh bien je vais la définir comme étant t au carré est en fait ça ça va être vrai pour les valeurs de thé comprise entre 0 et 2 donc tu es là varier entre 0 et 2 ça c'est mon premier système d'équations paramétrique donc je vais même la paix comme sahin cx1 y un de tes puisque je vais considérer ensuite un deuxième chemin donc l'appellerait x 2 y 2 voilà ça c'est la première paramétrisation de mon chemin je vais appeler comme ça c'est un et puis évidemment je peux à partir de ça définir une fonction vectorielle que je vais appeler r1 r1 de thé eh bien ça va être tout simplement x1 de thé dans la direction du vecteur y plus y un de tes dans la direction du vecteur j je peux même l'écrire directement donc en fait taire un de tes ça va être tes dans la direction du vecteur y puisque x12 tc pts et plus tu es au carré dans la direction du vecteur j donc voilà je pourrais écrire ça comme sa r1 de thé c'est cette expression là alors je vais dessiner ça donc j'ai mes axes voilà alors ici c'est la kz2 x ici celle axes d y comme d'habitude là c'est l'origine alors si je veux placer le point correspondant est égal 0 bien porter galles 0 g x1 est égal à zéro y 1 est égal à zéro aussi donc en fait je suis ici encore le vecteur r120 sera le vecteur nul hein donc c'est ça ensuite si je veux placer le vecteur r12 par exemple tu es égale un bain pour tes égale 1 1 j'ai ici r12 un ça va être y plus j donc je vais mettre une échelle sur mon sur mon mac ce sont mes axes sas et on va dire que ça c'est le vecteur y ce vecteur là et ça c'est le vecteur chi voilà donc si je fais je veux placer r12 1 et bien je dois faire le vecteur y plus le vecteur j donc je me retrouve ici ça c'est pour tes égal 1 et donc le vecteur r12 1 et bien c'est celui là voilà donc ensuite je peux regarder aussi pour tes égal 2 donc r12 2b ça va être deux y plus de haut car fo agit donc plus 4 j 2 e-plus kadji donc si je fais 2 y je me retrouve ici + 4 j 1 2 3 4 je vais arriver ici donc je vais me retrouver à ce je vais arriver à ce point là voilà qui veut dire que le vecteur r 1 2 2 c'est ce vecteur la voilà alors je peux aussi du coup tracé la courbe que parcourent les extrémités de mai vecteur un donc je vais la tracé en rose ça fait quelque chose comme ça en fait c'est un arc de paraboles voilà alors bon je vais refaire le dessin je vais enlever les vecteurs ça sera plus facile à lire voilà alors j'ai dit que pour le pointer égal 2 j'étais à 7 cette position ici donc voilà ça c'est porter égal 2 et donc la courbe que j'obtiens c'est un arc de paraboles que je fais comme ça voilà voilà donc ça c'est mon premier chemin avec cette paramétrisation la courbe est celle ci c'est un arc de paraboles et la paramétrisation et celle là et donc j'ai aussi cette fonction vectorielle ici alors maintenant ce que je vais faire c'est que je vais prendre exactement la même courbe un même courbe dans le plan mais je vais la considérer avec une paramétrisation différentes alors je prends une autre couleur donc je vais maintenant définir une autre paramétrisation de ce chemin donc je vais l'appeler ses deux et ça va être cette paramétrisation la lap 6 x 2 2 t ça va être tout simplement de thé cette fois ci et puis l'ordonné y deux de tes bien je vais diriger dire que ces deux thés nous tous au carré de thé le tour car est donc peut écrire ça aussi comme 4t au carré et puis ça je vais le considérer non pas porter qui varie entre 0 et 2 mai porter qui varie entre 0 et 1 donc tu es con être varié entre dans cet intervalle là entre 0 et 1 tu vas voir que ce chemin est exactement en fait la même courbe que celle qu'on a vu tout à l'heure alors je continue à jouer définir à partir de ce chemin là de cette paramétrisation l'âge et définir une autre fonction vectorielle r2 de thé qui va être évidemment x2 de thé c'est à dire 2 t dans le sens du vecteur y plus y de 2t c'est-à-dire 4t au carré dans le sens du vecteur j'y vois là je vais faire un dessin comme tout à l'heure pour que on se rendent bien compte que c'est effectivement le même chemin je vais essayer de faire le dessin à peu près la même échelle voilà donc ça s'est levé l axe d y ça c'est le sexe des x je dessinais les vecteurs unitaire donc j'ai un vecteur i qui est comme ça un vecteur j qui est comme ça voilà donc quand je suis pour tes égal zéro et bien x220 ça fait zéro et y de 2 0 c'est zéro aussi donc pour tes égal zéro je suis effectivement à l'origine est effectivement mon vecteur position c'est le vecteur nul ensuite quand et est également on va dire par exemple à un demi on va prendre tes égale un demi donc finalement r22 tc deux fois un demi c'est à dire une fois le vecteur i + 4 fois le vecteur de quatre fois un quart donc là aussi ça fait 1 le vecteur j 1 donc finalement le tu peux refaire les calculs tranquillement mais si je prends tes égal à 1,2 me je vais me retrouver je vais devoir faire en fait une fois le vecteur y donc c'est ici plus une fois le vecteur j donc j'arriverai ici exactement de la même manière que tout à l'heure donc j'arrive à ce point là est le vecteur position correspondance à sera ce vecteur là je le thrace pas parce que je vais juste garder la courbe ensuite si je prends maintenant la valeur est égale 1-1 et bien gx2 de thé qui va être égale à deux fois c'est à dire à deux et puis y 2 2 1 ça va être égal à 2 au carré c'est à dire quatre ans donc je vais me retrouver ici aussi voilà est alors un deux trois quatre je vais me retrouver là donc ce qu'on obtient ici c'est exactement le même morceau de paraboles que tout à l'heure voilà tu peux t'en convaincre aussi en faisant en écrivant l'équation au cartésienne de ces deux chemins tu vas voir qu'effectivement ça représente exactement la même portion de parabole dans le plan x y alors il ya une chose qu'il faut absolument qu'on peut constater tout de suite c'est que ici si tu imagine par exemple un mobile qui bouge sur ce chemin dans ce cas là le paramètre t ce sera le temps donc ce sera par exemple de seconde et donc ce mobile va parcourir cette courbe en deux secondes puisque il part de cette extrémité là et au bout de deux secondes il arrive à celle là il arrive à l'extrémité final donc il a parcouru tous là toute la trajectoire en deux secondes alors qu'ici tu imagines le mobile partant d'ici et arrivant là donc je vais réécrire la sas était égale un demi et ça c'était égal 1 donc en fait dans le cas ici le mobile part de cet endroit là et il arrive et parcourt toute la trajectoire et il arrive au bout aux tentes et égale une seconde donc il a mis une seconde à parcourir toute la trajectoire c'est à dire qu'en fait ici c'est ça qui est important ici le mouvement le mouvement est plus rapide voilà ça c'est vraiment une constatation qu'on peut faire tout de suite et puis on va s'en rendre compte aussi par le calcul justement en allant regarder les dérivés de nos deux fonctions alors justement ce qu'on va faire ses calculs et maintenant les dérivés de ces deux fonctions alors je vais le faire ici je fais un petit peu de place alors la première fonction je vais la dérive et je vais prendre notre couleur ce bleu alors r1 en fait je vais écrire r1 prime de tf1 prime de thé bien donc je dois dérivés les composantes 1 donc c'est exprime de tréfois e-plus y prime de thé fois çi alors exprime de tesla dérivés de thé par rapport à tes donc c'est un donc finalement j'ai un x ou y plus la dérive et de théo carré fois j alors la dérive était au carré par rapport à tes c2t donc plus de thé fois j'y vois là alors maintenant je vais faire la même chose avec l'autre fonction vectorielle donc la dérive et de r2 airs prime de 1 2 t et bien c'est la dérive et 2,2 t par rapport à tes donc ces deux fois ci plus la dérive et de 4t au carré par rapport à hâter vers la dérive est de capter au carré ça fait 8 et donc plus 8 et dans le sens du vecteur j donc voilà on a les expressions des deux dérivés de nos deux fonctions vectorielle maintenant ce qui serait intéressant c'est d'aller pouvoir comparer ces vecteurs là en différents points en différents points de la courbe alors par exemple on peut essayer de calcul est ici on va le faire on va essayer de calculer le le vecteur tangent en ce point ci de la courbe alors ce point si c'est l'endroit où on est c'est le point où on est quand tu es est égal à 1 donc en fait j'ai calculé je vais les calculs et r prime de 1 hier prime de 1 je le fais comme ça alors r prime de 1 donc ça va être une fois un une fois il part donc puisque la psy ce n'est pas fonction de tes donc les hittites du coup je peux écrire ça directement une fois et plus 2 x 1 x j donc plus de j donc en fait là je peut tracer le vecteur dérivé au point de 7 en ce point ci de la cour donc au point tu es égale 1 1 donc elle je vais le faire si je suis là je me dis je fais d'abord une fois y donc j'arrive ici et ensuite deux fois j donc j'arrive une de j'arrive là voilà donc je peux tracé ce vecteur c'est ce vecteur la cie le faire un peu plus droit ce vecteur la voilà donc ça c'est le vecteur air prime 1 calculé pour la valeur est égale 1er prime 1 2 1 voilà alors bon là ce qu'on peut voir c'est que c'est un vecteur qui alerte en jean à la cour bande en ce point si sa direction semble être la direction de la tangente à la courbe à ce point là ensuite on verra comment quelle est sa norme la norme de ce secteur là pour l'instant ce qu'on peut voir c'est qu'effectivement c'est tout à fait ce qu'on avait annoncé dans la vidéo précédente c'est un vecteur qui est en jean la trajectoire et qui va dans le sens du mouvement parce que le mouvement se fait dans ce sens là est le vecteur dérivé est lui aussi d'en orienter dans ce sens là alors maintenant on va regarder ce qui se passe dans ce cas là lorsque je veux c'est comparer les vecteur dérivé au même point de la courbe donc c'est pas on parle pas de la même valeur du temps puisqu'ici on a vu que si on imaginait que c'était un mobile qui se déplaçait le mouvement était beaucoup plus rapide ici ce que je veux faire ses calculs et le vecteur tangent en ce point là exactement le même que celui qu'on a calculé maintenant donc ici faut pas que je considère la valeur est égale 1 mais la valeur est égale 1 demi puisque ce point là c'est là où on arrive pour la valeur tega 1/2 donc je vais calculé air prime de thé pour la valeur est égale 1 2 milliard ici j'ai oublié une flèche je le rajoute ici c'est pas bien alors donc j'ai dit que je calculais air prime 2 pour la valeur 1/2 donc j'ai calculé le vecteur dérivé correspondant à ce point-ci donc ça me fait ici là que la composante selon le vecteur il ne varie pas donc c'est toujours deux c2i plus huit fois un demi donc huit fois en 2000 ça fait 4 dont +4 j'y vois là est donc là on peut voir la différence entre ces deux vecteurs déjà rien que par leur expression celui ci est deux fois plus long en fait donc je vais de dessiner pour être sûr donc si je me déplace de deux fois le vecteur y ça me fait arriver disons la voilà ensuite à partir de là je vais monter de 4 fait quatre fois le vecteur j donc un je vais le faire donc un deux trois quatre ça fait arriver là disons à peu près et donc j'ai mon vecteur air prime 2 2 1/2 c celui ci voilà comme ça que je trace traçant orange sa cr prime de 2 1/2 voilà alors là comme tout à l'heure on obtient un vecteur dérivé qui est en jean à la cour bon ce point-ci au même point que tout à l'heure et etc et va donc dans le sens du mouvement aussi donc là on obtient encore une fois une vecteur qui donne la variation instantanée de notre fonction vectorielle r2 comme c'était le cas tout à l'heure alors une chose qu'on peut remarquer aussi tout de suite c'est que les normes de ces deux vecteurs sont complètement différentes la norme de ce deuxième vecteur du vecteur air prime 2 est beaucoup plus longue que la norme du vecteur air prime un calcul et au point 1 alors tu peux même les calculs et si tu veux en utilisant le théorème de pythagore c'est pas compliqué là on va pas le faire on va juste constater cette différence est en fait bas c'est assez logique puisque si on imagine par exemple que c'est un reprend l'exemple de tout à l'heure c'est un mobile qui parcourt une trajectoire on avait vu que dans ce cas ci la vitesse le mouvement était de ce fait que fait beaucoup plus rapidement et en fait dans ce cas là ce qu'on obtient quand on calcule dérivé au point un point donné on obtient la vitesse instantanée un sas et la vitesse instantanée instantanée instant d'année disent la même chose ici hein donc là on obtient ça dans les deux cas on obtient le vecteur vitesse instantanée en ce point là de la courbe est donc puisque dans les deux cas le vecteur vite le vecteur est repris mme 1er prime de représente le vecteur vitesse la vitesse instantanée du mobile le long de l'oeuvre de sa trajectoire à bien comme on avait vu que dans ce deuxième cas le mouvement était plus rapide c'est normal que la vitesse soit plus grande voilà donc là j'espère que tu tout ça te permettra de bien comprendre ce que c'est que ce vecteur dérivé et puis de bien voir qu effectivement sa direction est toujours tangente à la trajectoire ne dépend que de la trajectoire par contre l'aca normes va dépendre de la paramétrisation qu'on a utilisé pour décrire le chemin