If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si vous avez un filtre web, veuillez vous assurer que les domaines *. kastatic.org et *. kasandbox.org sont autorisés.

Contenu principal

Cours : Terminale spécialité math > Chapitre 4 

Leçon 8: Lever une indétermination
Mathématiques
Terminale spécialité math
Limites et continuité des fonctions d’une variable réelle
Lever une indétermination
© 2024 Khan AcademyConditions d'utilisation (en anglais)Politique de confidentialitéUtilisation de cookies

Calculer une limite en appliquant la bonne méthode

Google Classroom
Il y a différentes techniques pour calculer des limites, et chacune s'applique dans certaines conditions. Toutes ces techniques doivent être connues bien sûr, mais ce qui est important c'est aussi de distinguer les conditions dans lesquelles on doit utiliser l'une ou l'autre.
On a résumé dans cet organigramme les différentes méthodes et leurs conditions d'application :
Un organigramme avec les étapes de A à H ainsi : étape A calcul de f(a). On a alors les 3 options B à D. Option B : f de a égal b divisé par zéro, avec b différent de zéro. Conclusion : la limite est infinie (asymptote verticale). Exemple : la limite de un sur x moins un en un. Option C : f de a = b, où b est un nombre réel. Conclusion : la limite est finie. Exemple : la limite de x au carré en trois est égale à trois au carré, soit neuf. Option D : f de a = 0 divisé par 0. Conclusion : forme indéterminée. Exemple : la limite en -1 de x au carré moins x moins deux le tout divisé par x au carré moins deux x moins trois. À partir de l'option D, on essaie d'écrire la fonction sous une autre forme. On a alors les 3 options E à G. Option E : en factorisant. Exemple : la limite en -1 de x au carré moins x moins deux le tout divisé par x au carré moins deux x moins trois est égale à la limite en moins un de x moins deux sur x moins trois. Option F : avec des conjugués. Exemple la limite en 4 de racine de x moins deux sur x moins quatre égale à la limite en quatre de un sur racine de x plus un. Option G : formules trigo. Exemple la limite en zéro de sinus x sur sinus deux x est égale à la limite en zéro de un sur cosinus deux x. On utilise cette nouvelle forme pour calculer f de a en revenant à l'étape A. Une autre option H est la lecture graphique : si aucun de ces chemins ne mène à la réponse, les lectures graphiques, ou l'écriture de tableaux de valeurs peuvent permettre d'obtenir une approximation de la limite cherchée.
Point clé 1 : Pour calculer la limite d'une fonction en a, on commence toujours par calculer f(a) si la fonction est définie en a. Par exemple, il est inutile d'écrire la fonction autrement en factorisant si le calcul de f(a) est aisé et le résultat est un nombre réel. On passe aux étapes suivantes lorsqu'on obtient une limite infinie ou une forme indéterminée.
Point clé 2 : Les cas b/0 et 0/0 (où b≠0) sont à distinguer. Lorsque vous obtenez b/0, cela signifie que la limite n'est pas finie et que la courbe d'équation x=a est une asymptote verticale à la courbe représentative de f. En revanche, lorsque vous obtenez 0/0, cela indique que vous ne pouvez pas déterminer si la limite existe ou non, c'est pourquoi on parle de forme indéterminée. Il faut alors lever l'indétermination et c'est là que la partie inférieure de l'organigramme entre en jeu.
Remarque : La règle de l’Hospital est une méthode puissante pour déterminer des limites en levant des formes indéterminées. Vous la verrez plus tard après avoir appris la dérivée des fonctions.

Calcul de f(a)

exercice 1
g(x)=x−3x+5−3
On veut déterminer limx→4g(x).
Qu'obtient-on lorsque nous calculons la valeur de la fonction en ce point ?
Choisissez une seule réponse :

Exercice 2
h(x)=1−cos⁡(x)2sin2⁡(x)
On veut déterminer limx→0h(x).
Qu'obtient-on lorsque nous calculons la valeur de la fonction en ce point ?
Choisissez une seule réponse :

Forme indéterminée

Exercice 3
Justin utilise l'organigramme pour étudier une limite. Soit f la fonction définie pour tout x≠−2 et x≠−1 par f(x)=x+1x2+3x+2 et la limite à étudier est limx→−1f(x).
En remplaçant x par −1 dans l'expression de f, il obtient la forme indéterminée 00.
Quelle est la prochaine étape que doit suivre Justin ?
Choisissez une seule réponse :

Exercice 4
Charlotte utilise l'organigramme pour étudier une limite. Soit f la fonction définie pour tout x≠−3 et x⩾−7 par f(x)=4x+28−4x+3 . La limite à étudier est limx→−3f(x).
En remplaçant x par −3 dans l'expression de f, elle obtient la forme indéterminée 00.
Quelle est la prochaine étape que doit suivre Charlotte ?
Choisissez une seule réponse :

Le choix de la méthode

Exercice 5
Julian utilise l'organigramme pour étudier une limite. Soit f la fonction définie pour tout x≠5 par f(x)=x2−25x2−10x+25. La limite à étudier est limx→5f(x).
Un organigramme avec les étapes de A à H ainsi : étape A calcul de f(a). On a alors les 3 options B à D. Option B : f de a égal b divisé par zéro, avec b différent de zéro. Conclusion : la limite est infinie (asymptote verticale) . Option C : f de a = b, où b est un nombre réel. Conclusion : la limite est finie. Option D : f de a = 0 divisé par 0. Conclusion : forme indéterminée. À partir de cette option D, on essaie d'écrire la fonction sous une autre forme. On a alors les 3 options E à G. Option E : en factorisant. Option F: avec des conjugués. Option G : formules trigo. On utilise la nouvelle forme obtenue pour calculer f de a en revenant à l'étape A. Une autre option H est la lecture graphique.
Placer dans le cadre de droite la succession des étapes de l'étude de Julian.
A. Calcul de f(a)
B. Limite infinie
C. Limite finie
D. Forme indéterminée
E. Factorisation
F. Utilisation du conjugué
G. Utilisation d'une formule trigo
H. Lecture graphique

Exercice 6
Fanny utilise l'organigramme pour étudier une limite. Soit f la fonction définie pour tout x>2,5 et x≠3 par f(x)=2x−5−1x−3 . La limite à étudier est limx→3f(x).
Un organigramme avec les étapes de A à H ainsi : étape A calcul de f(a). On a alors les 3 options B à D. Option B : f de a égal b divisé par zéro, avec b différent de zéro. Conclusion : la limite est infinie (asymptote verticale) . Option C : f de a = b, où b est un nombre réel. Conclusion : la limite est finie. Option D : f de a = 0 divisé par 0. Conclusion : forme indéterminée. À partir de cette option D, on essaie d'écrire la fonction sous une autre forme. On a alors les 3 options E à G. Option E : en factorisant. Option F: avec des conjugués. Option G : formules trigo. On utilise la nouvelle forme obtenue pour calculer f de a en revenant à l'étape A. Une autre option H est la lecture graphique.
Placer dans le cadre de droite la succession des étapes de l'étude de Fanny.
A. Calcul de f(a)
B. Limite infinie
C. Limite finie
D. Forme indéterminée
E. Factorisation
F. Utilisation du conjugué
G. Utilisation d'une formule trigo
H. Lecture graphique

Vous souhaitez rejoindre la discussion ?

Connectez-vous
Pas encore de posts.
Vous comprenez l'anglais ? Cliquez ici pour participer à d'autres discussions sur Khan Academy en anglais.