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Le signe somme Σ

Le signe somme.
Le signe somme sum est une notation pour symboliser une somme de termes de la forme u, start subscript, n, end subscript où est un entier naturel.

Le principe

Ce signe somme sum est toujours accompagné de deux valeurs de l'indice n.
Voici un exemple simple :
La dernieˋre valeur de n est 3n=132n1L’expression de chacun La premieˋre valeur de n est 1des termes de la somme\begin{aligned} \scriptsize\text{La dernière valeur de n est }3 & \\ \scriptsize\text{} \\ \searrow\qquad& \\\\ \LARGE\displaystyle\sum_{n=1}^3&\LARGE 2n-1 \\ &\qquad\quad\nwarrow \\ \nearrow\qquad&\qquad\scriptsize\text{L'expression de chacun } \\ \scriptsize\text{La première valeur de n est }1&\qquad\scriptsize\text{des termes de la somme} \end{aligned}
Il s'agit de la somme des termes de la forme 2, n, minus, 1 lorsque n prend les valeurs 1, 2 et 3.
=n=132n1=[2×11]n=1+[2×21]n=2+[2×31]n=3=1+3+5=9\begin{aligned} &\phantom{=}\displaystyle\sum_{\goldD n=1}^3 2\goldD n-1=\underbrace{[2×\goldD 1-1]}_{\goldD{n=1}}+\underbrace{[2×\goldD 2-1]}_{\goldD{n=2}}+\underbrace{[2×\goldD 3-1]}_{\goldD{n=3}}=1+3+5=9 \end{aligned}
On calcule 2, start color #e07d10, n, end color #e07d10, minus, 1 si start color #e07d10, n, equals, 1, end color #e07d10, si start color #e07d10, n, equals, 2, end color #e07d10 et si start color #e07d10, n, equals, 3, end color #e07d10 et on additionne les trois résultats.
n est l'indice de sommation.
Exercice 1
sum, start subscript, n, equals, 1, end subscript, start superscript, 4, end superscript, n, squared, equals, question mark
Choisissez une seule réponse :
Choisissez une seule réponse :

Il n'est pas obligatoire que la première valeur de n soit 1. Par exemple, voici une somme où la première valeur de n est 4 et la dernière 6 :
=n=46n1=(41)n=4+(51)n=5+(61)n=6=3+4+5=12\begin{aligned} &\phantom{=}\displaystyle\sum_{\goldD n=4}^6 \goldD n-1=\underbrace{(\goldD 4-1)}_{\goldD{n=4}}+\underbrace{(\goldD 5-1)}_{\goldD{n=5}}+\underbrace{(\goldD 6-1)}_{\goldD{n=6}}=3+4+5=12 \end{aligned}
Il n'est pas obligatoire que l'indice soit désigné par la lettre n. Par exemple, voici une somme où l'indice est désigné par la lettre i :
=i=023i5=[3×0 ⁣ ⁣5]i=0+[3×1 ⁣ ⁣5]i=1+[3×2 ⁣ ⁣5]i=2=5+(2)+1=6\begin{aligned} &\phantom{=}\displaystyle\sum_{\goldD i=0}^2 3\goldD i-5=\underbrace{[3×\goldD 0\!-\!5]}_{\goldD{i=0}}+\underbrace{[3×\goldD 1\!-\!5]}_{\goldD{i=1}}+\underbrace{[3×\goldD 2\!-\!5]}_{\goldD{i=2}}=-5+(-2)+1=-6 \end{aligned}
Exercice 2
sum, start subscript, k, equals, 3, end subscript, start superscript, 5, end superscript, k, left parenthesis, k, plus, 1, right parenthesis, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Exercice 3
Soit la somme 4, plus, 25, plus, 64, plus, 121.
Elle est égale à :
Choisissez toutes les réponses possibles :
Choisissez toutes les réponses possibles :

Les termes à additionner sont toujours fonctions de l'indice, mais ils peuvent aussi être fonctions d'une autre variable. Par exemple dans la somme ci-dessous
sum, start subscript, n, equals, 1, end subscript, start superscript, 4, end superscript, start fraction, k, divided by, n, plus, 1, end fraction.
L'indice est n et non k. Si on développe cette somme, on obtient :
=n=13kn+1=k1+1+k2+1+k3+1=k2+k3+k4\begin{aligned} &\phantom{=}\displaystyle\sum_{\goldD n=1}^3 \dfrac{k}{\goldD n+1}= \dfrac{k}{\goldD 1+1} + \dfrac{k}{\goldD 2+1} + \dfrac{k}{\goldD 3+1}= \dfrac{k}{2} + \dfrac{k}{3} + \dfrac{k}{4} \end{aligned}
Attention : Il faut bien repérer par quelle lettre est désigné l'indice de sommation.
Exercice 4
sum, start subscript, m, equals, 1, end subscript, start superscript, 4, end superscript, 8, k, minus, 6, m, equals, question mark
Choisissez une seule réponse :
Choisissez une seule réponse :

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.