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Les lois de Kirchhoff

Les lois de Kirchhoff ou loi des mailles et loi des nœuds. Par Willy McAllister.
Les lois de Kirchhoff pour le courant et pour la tension sont au cœur de l'analyse des circuits électriques. Ces deux lois, ainsi que les équations régissant les principaux composants individuels (résistance, condensateur, bobine), constituent les outils de base de l'analyse des circuits.
Pour bien comprendre cet article, il vaut mieux maîtriser les définitions de nœuds, nœuds éclatés, branche, et maille.
Un morceau de papier et un crayon seront également utiles pour résoudre les exercices.

Courants dans un nœud

On commence par un petit exercice pratique avant d'aborder la théorie. Le schéma ci-dessous représente un nœud éclaté comportant quatre branches dans lesquelles circulent des courants entrants ou sortants. Les intensités des courants sont indiquées en milliampères, start text, m, A, end text. Une des intensités, start color #11accd, i, end color #11accd, est inconnue.
Problème 1 : quelle est la valeur de i ?
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Dans cet autre exemple, on indique les noms des variables et non pas directement les valeurs des intensités. Ce nœud possède 5 branches. On note les intensités des courants dans chaque branche de i, start subscript, 1, end subscript, start text, a, with, \`, on top, space, end text, i, start subscript, 5, end subscript.
Les flèches représentant les courants pointent toutes vers le nœud. Ce choix dans la direction est arbitraire : il indique une direction de référence pour laquelle l'intensité du courant est comptée positivement si le courant réel s'écoule bien dans ce sens alors qu'on lui attribuera un signe minus si le courant réel s'écoule dans le sens opposé à la flèche. On parle alors de valeur algébrique pour l'intensité.
On s'intéresse d'abord au courant i, start subscript, 1, end subscript.
Où se dirige-t-il ?
À priori, le courant i, start subscript, 1, end subscript s'écoule en direction du nœud (représenté ici pas le point noir).
Que se passe-t-il alors ?
Il y a deux choses que i, start subscript, 1, end subscript ne peut pas faire. Tout d'abord, les charges qui forment i, start subscript, 1, end subscript ne peuvent pas rester à l'intérieur du nœud. Il n'y a aucun endroit où stocker des charges dans un nœud. Ensuite, ces charges ne peuvent pas sauter du fil pour disparaître dans la nature—en tout cas, pas dans des circonstances normales.
Que reste-t-il comme possibilité ? Le courant doit sortir du nœud en passant par une ou plusieurs autres branches.
Dans cet exemple, on écrirait cette règle de cette manière :
i, start subscript, 1, end subscript, plus, i, start subscript, 2, end subscript, plus, i, start subscript, 3, end subscript, plus, i, start subscript, 4, end subscript, plus, i, start subscript, 5, end subscript, equals, 0
Si i, start subscript, 1, end subscript est un courant d'intensité effectivement positive, il s'écoule bien vers le nœud, et donc un ou plusieurs autres courants doivent sortir du nœud. Ces courant sortants auront alors une intensité négative, de signe minus, avec l'orientation choisie.
Ce résultat sur les courants s'écoulant dans un nœud est parfaitement bien résumé dans la forme générale de la loi de Kirchhoff sur le courant, appelée loi des nœuds.

La loi des nœuds

La loi des nœuds stipule que la somme algébrique des intensités de tous les courants entrant dans un nœud est égale à la somme algébrique des intensités de tous les courants sortant du même nœud. Elle peut s'écrire comme suit :
sum, i, start subscript, e, n, t, r, a, n, t, end subscript, equals, sum, i, start subscript, s, o, r, t, a, n, t, end subscript

Loi des nœuds - Applications

Les intensités des courants sont indiquées en milliampères, start text, m, A, end text.
Problème 2 : Quelle est la valeur de i, start subscript, 5, end subscript ?
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Problème 3 : Quelle est la valeur de i, start subscript, 3, end subscript dans ce nœud éclaté ?
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Somme des tensions le long d'une maille

La figure ci-dessous représente un circuit avec quatre résistances et un générateur. Dans cet exercice, on utilise, en premier lieu, la loi d'Ohm afin de déterminer l'intensité du courant. Ensuite, on déterminera les tensions aux bornes de chaque résistance.
Ce circuit étant un circuit en série, c'est le même courant, start color #11accd, i, end color #11accd, qui traverse tous les composants. Pour déterminer la valeur de start color #11accd, i, end color #11accd, les quatre résistances en série peuvent être assimilées à une seule résistance équivalente :
R, start subscript, s, e, with, acute, on top, r, i, e, end subscript, equals, 100, plus, 200, plus, 300, plus, 400, equals, 1000, \Omega
Selon la loi d'Ohm, l'intensité du courant est donc :
start color #11accd, i, end color #11accd, equals, start fraction, U, divided by, R, start subscript, s, e, with, acute, on top, r, i, e, end subscript, end fraction, equals, start fraction, 20, start text, V, end text, divided by, 1000, \Omega, end fraction, equals, 0, comma, 020, start text, A, end text, equals, 20, start text, m, A, end text
Maintenant que le courant est connu, on peut calculer les tensions aux bornes des quatre résistances. Pour y voir plus clair, sur le schéma du circuit, on représente les tensions aux bornes de chacun des cinq composants :
On applique la loi d'Ohm quatre fois de plus pour obtenir la tension aux bornes de chaque résistance :
U, empty space, equals, start color #11accd, i, end color #11accd, start text, R, end text
U, start subscript, start text, R, 1, end text, end subscript, equals, 20, start text, m, A, end text, times, 100, \Omega, equals, plus, 2, start text, V, end text
U, start subscript, start text, R, 2, end text, end subscript, equals, 20, start text, m, A, end text, times, 200, \Omega, equals, plus, 4, start text, V, end text
U, start subscript, start text, R, 3, end text, end subscript, equals, 20, start text, m, A, end text, times, 300, \Omega, equals, plus, 6, start text, V, end text
U, start subscript, start text, R, 4, end text, end subscript, equals, 20, start text, m, A, end text, times, 400, \Omega, equals, plus, 8, start text, V, end text
L'intensité du courant ainsi que toutes les tensions sont connues, le problème est donc résolu.
Sur le schéma suivant, on a porté les tensions aux bornes de chaque résistance et celle délivrée par le générateur. Ces cinq tensions correspondent en fait aux différences de potentiel entre les nœuds repérés par des lettres allant de start color #0d923f, start text, a, end text, end color #0d923f à start color #0d923f, start text, e, end text, end color #0d923f.
En additionnant les tensions aux bornes de chaque résistance, on obtient :
2, start text, V, end text, plus, 4, start text, V, end text, plus, 6, start text, V, end text, plus, 8, start text, V, end text, equals, 20, start text, V, end text
qui correspond exactement à la valeur de la tension délivrée par le générateur, ce qui est logique et confirme les calculs.
On peut aussi procéder de manière différente, et additionner les tensions "le long de la maille".

Marche à suivre : Somme des tensions le long d'une maille

Étape 1 : Choisir un nœud de départ.
Étape 2 : Choisir une direction dans laquelle parcourir la maille (sens des aiguilles d'une montre ou sens trigonométrique).
Étape 3 : Parcourir la maille.
Faire la somme algébrique des tensions en respectant les règles suivantes pour chaque composant de la maille :
  • Pour chaque composant, on regarde le premier signe qui apparaît alors qu'on "entre" dans le composant.
  • Si c'est un signe plus, alors il y aura une chute de tension dans le composant. Il faut retrancher la tension indiquée aux bornes du composant.
  • Si c'est un signe minus, alors il y aura une hausse de tension dans le composant. Il faut ajouter la tension indiquée aux bornes du composant.
Étape 4 : Continuer à parcourir la maille jusqu'à revenir au point de départ, tout en incluant toutes les tensions au fur et à mesure.

Application

On applique la méthode au problème précédent, étape par étape.
  1. On part du nœud start color #0d923f, start text, a, end text, end color #0d923f en bas à gauche.
  2. On parcourt la maille dans le sens des aiguilles d'une montre.
Schéma du circuit avec toutes les grandeurs électriques indiquées.
  1. Le premier composant rencontré est le générateur. Le signe à "l'entrée" du composant est un minus, il y aura donc une hausse de tension dans ce composant. On commence à écrire la somme algébrique des tensions le long de la maille en ajoutant la tension aux bornes du générateur.
U, start subscript, m, a, i, l, l, e, end subscript, equals, plus, 20, start text, V, end text quand on traverse le générateur vers le nœud start color #0d923f, start text, b, end text, end color #0d923f.
Le composant suivant est la résistance de 100, \Omega. Le signe à l'entrée est un plus, il faut donc soustraire la tension aux bornes de cette résistance.
U, start subscript, m, a, i, l, l, e, end subscript, equals, plus, 20, start text, V, end text, minus, 2, start text, V, end text quand on traverse la résistance de 100, \Omega vers le nœud start color #0d923f, start text, c, end text, end color #0d923f.
On arrive maintenant dans la résistance de 200, \Omega, et le premier signe rencontré est un plus, on soustrait donc la tension à ses bornes.
U, start subscript, m, a, i, l, l, e, end subscript, equals, plus, 20, start text, V, end text, minus, 2, start text, V, end text, minus, 4, start text, V, end text quand on traverse la résistance de 200, \Omega vers le nœud start color #0d923f, start text, d, end text, end color #0d923f.
On complète le tour de la maille en faisant la même chose pour les deux derniers composants.
U, start subscript, m, a, i, l, l, e, end subscript, equals, plus, 20, start text, V, end text, minus, 2, start text, V, end text, minus, 4, start text, V, end text, minus, 6, start text, V, end text quand on traverse la résistance de 300, \Omega vers le nœud start color #0d923f, start text, e, end text, end color #0d923f.
U, start subscript, m, a, i, l, l, e, end subscript, equals, plus, 20, start text, V, end text, minus, 2, start text, V, end text, minus, 4, start text, V, end text, minus, 6, start text, V, end text, minus, 8, start text, V, end text après la résistance de 400, \Omega.
(Exercice : vérifier que les deux derniers composants ont été inclus correctement dans le calcul.)
  1. On est revenu au nœud start color #0d923f, start text, a, end text, end color #0d923f. Quelle est finalement la valeur de la somme algébrique des tensions le long de la maille U, start subscript, m, a, i, l, l, e, end subscript ?
U, start subscript, m, a, i, l, l, e, end subscript, equals, plus, 20, start text, V, end text, minus, 2, start text, V, end text, minus, 4, start text, V, end text, minus, 6, start text, V, end text, minus, 8, start text, V, end text, equals, 0
La somme algébrique des tensions le long de la maille est de 0. Le nœud de départ et celui d'arrivée sont les mêmes, donc le potentiel de départ et celui d'arrivée sont les mêmes. Durant ce parcours de la maille, le potentiel subit des chutes et des hausses qui se compensent entre elles lorsqu'on revient au point de départ. Ceci est lié au fait que la force électrique est conservative, il n'y a pas de gain ou de perte d'énergie lorsque l'on revient au même endroit en parcourant un circuit.
On étudie maintenant un autre exemple où les valeurs numériques des tensions sont remplacées par des noms de variables. Sur le schéma ci-dessous, sont précisés les noms des tensions et des nœuds. Contrairement à ce qu'on a l'habitude de faire, on choisit d'écrire ici les signes plus et minus de chaque côté des résistances de façon à ce que toutes les flèches des tensions soient dans la même direction le long de la maille. On va pouvoir faire ainsi apparaître une propriété intéressante des mailles.
On parcourt la maille en ajoutant au fur et à mesure les tensions des composants rencontrés. On part du nœud start color #0d923f, start text, a, end text, end color #0d923f dans le coin inférieur gauche et on va dans le sens des aiguilles d'une montre (ce choix est arbitraire, l'autre sens fonctionnerait aussi).
À partir du nœud start color #0d923f, start text, a, end text, end color #0d923f, le premier signe rencontré à l'entrée du générateur est un , il va donc y avoir une hausse de tension de U, start subscript, a, b, end subscript volts en traversant ce composant. Comme il s'agit d'une hausse de tension, on l'intègre à la somme algébrique des tensions de long de la maille en l'ajoutant.
On continue le long de la maille depuis le nœud start color #0d923f, start text, b, end text, end color #0d923f jusqu'au nœud start color #0d923f, start text, c, end text, end color #0d923f puis à start color #0d923f, start text, d, end text, end color #0d923f puis enfin à start color #0d923f, start text, e, end text, end color #0d923f, pour finir par arriver au point de départ au nœud start color #0d923f, start text, a, end text, end color #0d923f. On inclut dans la somme algébrique des tensions celle de chaque composant. Comme le signe à l'entrée de chaque composant est un minus, toutes les tensions de ces composants sont ajoutées à la somme algébrique des tensions le long de la maille. Finalement, on obtient :
plus, U, start subscript, start text, a, b, end text, end subscript, plus, U, start subscript, start text, R, 1, end text, end subscript, plus, U, start subscript, start text, R, 2, end text, end subscript, plus, U, start subscript, start text, R, 3, end text, end subscript, plus, U, start subscript, start text, R, 4, end text, end subscript
Que vaut cette somme ? On peut le déduire de façon logique.
Le parcours le long de la maille commence et finit au même nœud, donc les potentiels électriques au départ et à l'arrivée sont identiques. On parcourt la maille en ajoutant algébriquement des tensions, c'est à dire des différences de potentiel, au fur et à mesure et on revient au même potentiel. Cela signifie que la somme algébrique des différences de potentiel sur la maille, autrement dit des tensions, doit être égale à zéro :
U, start subscript, start text, a, b, end text, end subscript, plus, U, start subscript, start text, R, 1, end text, end subscript, plus, U, start subscript, start text, R, 2, end text, end subscript, plus, U, start subscript, start text, R, 3, end text, end subscript, plus, U, start subscript, start text, R, 4, end text, end subscript, equals, 0
Ce résultat sur la somme algébrique des tensions le long d'une maille est parfaitement bien résumé dans la forme générale de la loi de Kirchhoff sur la tension, appelée loi des mailles.

La loi des mailles

Loi de Kirchhoff sur la tension, ou loi des mailles : La somme algébrique des tensions le long d'une maille est égale à zéro.
Mathématiquement, la loi des mailles s'écrit :
sum, start subscript, n, end subscript, U, start subscript, n, end subscript, equals, 0
où l'indice n dénombre les tensions aux bornes des composants qui se trouvent dans la maille.
Cette loi peut s'énoncer d'une autre manière : Le long d'une maille, la somme des hausses de tension est égale à la somme des chutes de tension.
sum, U, start subscript, h, a, u, s, s, e, end subscript, equals, sum, U, start subscript, c, h, u, t, e, end subscript
La loi des mailles possède les propriétés suivantes :
  • Quel que soit le nœud à partir duquel on parcourt une maille, la somme algébrique des tensions le long de la maille est toujours égale à zéro si on revient au nœud de départ.
  • Quel que soit le sens dans lequel on parcourt la maille, la loi des mailles s'applique de la même manière.
  • Si un circuit comporte plusieurs mailles, la loi des mailles est valable pour chacune d'elles.

Les tensions sont toutes positives ?

En lisant l'article, on pourrait croire que les tensions sont toutes positives, et se demander alors comment une somme de valeurs positives peut être égale à zéro. En fait, le sens des flèches représentant les tensions et les signes plus et minus qui leur sont associés, sont simplement une convention permettant de décrire algébriquement ces tensions. Les tensions décrites par ces flèches peuvent être aussi bien négatives que positives, et à la fin les tensions positives et négatives se compensent toujours le long d'une maille.

Loi des mailles - Application

Problème 4 : Quelle est la valeur de U, start subscript, R, 3, end subscript ?
Rappel : regarder le premier signe rencontré pour chaque composant.
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À retenir

Dans cet article, deux outils très utiles ont été détaillés.
La loi de Kirchhoff pour les courants en un nœud, aussi appelée loi des nœuds :
sum, start subscript, n, end subscript, i, start subscript, n, end subscript, equals, 0
La loi de Kirchhoff pour les tensions le long d'une maille, aussi appelée loi des mailles :
sum, start subscript, n, end subscript, U, start subscript, n, end subscript, equals, 0
On a vu également qu'il est très important de faire attention aux conventions d'orientation des tensions et des courants pour avoir un résultat correct. C'est un point très fastidieux qui demande de faire attention aux détails et c'est une compétence de base que tout ingénieur en électronique se doit d'acquérir.