Fréquence des battements

donc dans cette vidéo on va reparler du phénomène de battement qui apparaît lorsqu'on superpose deux ondes de fréquence différente et on va démontrer la formule de la fréquence de battement fb est égal à f1 - f2 en valeur absolue on a déjà vu dans la vidéo précédente alors si on prend l'exemple des ondes sonores on a notre graphe ici qui représente le déplacement des molécules d'air à un endroit donné en fonction du temps on à la superposition de deux ondes sonores longue bleue et londres rouge qui ont des fréquences légèrement différente et londres résultant de cette superposition et racé ici en pointillés donc le phénomène de battement et c'est le fait d'avoir une super position qui va donner un maximum ici au début puis du fait de la différence de fréquence on va passer par un minimum avant de retrouver une super position qui donne une amplitude maximale est donc ce phénomène de battement correspond à la modulation de l'amplitude de l'ontt résultante du à cette différence de fréquence est fréquente maintenant je répète c'est le nombre de battements par seconde qu'on obtient alors pour trouver l'origine de cette formule sur la fréquence de battement on va regarder comment calculer la période de battement que je note ici tbt béquille donc sur notre graphe correspond au temps qui s'écoule entre eux deux maximum consécutifs donc au nombre de secondes par battement et bien sûr fréquence de battement et période de battement sont reliés par la simple relation fb est égal à 1 sur tb alors cette période de battement qu'est ce qui la caractérise c'est le temps qu'il faut pour passer de la situation où on a les deux ondes qui ont les maxima qui coïncide exactement donc l'amplitude résultante qui est maximale aux moments suivant ou 7 suède situation se reproduit c'est à dire qu'on a de nouveau les maxima qui se superposent exactement et donc londres résultante qui a une amplitude maximale donc si on fait un peu le ménage sur ce graphe ce qu'on cherche c'est la durée qui s'écoule entre cette première situation où les deux maxima coïncide que je vais noter c est cette deuxième situation les deux maximin coïncide de nouveau que je note aussi avec un petit c alors si on regarde ce qui se passe au cours de la première période de ces deux zones londres où j'ai eu une période un peu plus grande que l'on bleus donc lorsque la première période de long et terminer est bien longue bleue a déjà effectué un premier cycle et a commencé son deuxième cycle donc les deux maxime anne ne coïncident plus il ya un décalage entre les deux maximum que je vais noté delta tu es donc ce déphasage ce delta était facile à quantifier c'est simplement la différence t1 donc la période par exemple de notre monde rouge ici - t2 la période de notre double ce qui nous donne ici un nombre positif donc au cours d'un premier cycle on a un décalage entre ces deux ondes de delta taissy j'attends un cycle de plus je vais avoir un décalage qui va être deux fois delta tu es si j'attends trois cycles je vais avoir un décalage entre les maximum de ces deux zones qui va être trois fois delta thé et c'est donc pourquoi ça ça nous aide tout simplement parce qu'on peut connaître lorsqu'on a effectué un certain nombre de cycles quelle est la durée qui sépare le maximum de notre homme rouge du maximum de notre double qu'en termes d'équations si on a notre ronde rouge qui a effectué ainsique l'on a noté sa nr et bien la distance qui sépare le maximum dans ce dernier cycle de londres rouge comparé au maximum dernier cycle de l'onb le ca va etre t1 - tes deux fois nerfs un multiple de la quantité qu'on a noté delta t cette quantité t1 - tes deux fois nerfs c'est la distance temps pour elle donc la durée qui sépare le maximum de londres rouge à celui de l'ong bleus après un certain nombre de cycles qu'on peut représenter cet intervalle de temps après un cycle c'est le delta t que j'ai représenté ici après deux cycles ses segments blanc après trois cycles sept autres segments quatre cycles segment un peu plus grands cinq cycles ce segment encore un peu plus grand et au sixième cycle le décalage est devenu tellement grand qu'on a la superposition du maxima de landes rouge avec le maxima suivant de l'ange bleu et on se retrouve dans la situation où les maxima coïncider donc on va avoir une super position qui va donner une amplitude maximale est donc dans notre exemple ici au cours du sixième cycle décalage temporel entre lons blonde rouge est exactement égal à t2 la période de longue bleue et donc la condition pour que les maxima coincide et que l'on de résultant de soi de nouveaux d'amplitude maximale c'est lorsque le décalage temporel longue témoin des deux fois in her est égale à la période des deux donc de l'onb le ici d'un autre exemple si on regarde notre équation ici on peut avoir l'impression qu'il n'ya que des constantes t1 et t2 sont les périodes des deux ont donc ce sont des constantes et nrc le nombre de cycles nécessaire pour avoir le maximum qui coïncide de nouveau dans notre exemple nerfs est un entier il vaut 6 au bout de six 6 6 cycles pardon on a de nouveau les maximums qui coïncide mais il s'agit d'un exemple bien particulier serait plus être 3,1 ou 8,24 donc nerfs n'est pas forcément un entier est en fait nerfs se définit comme le rapport du temps écoulé / la période t1 de notre zone rouge donc nerfs est égale petit est la variable / t1 la constante on peut maintenant donc remplacé nerfs partait sur t1 dans notre équation à gauche donc si je réécris ça nous donne t1 - tes deux facteurs de petites et / t1 est égal à t2 et donc petit et c'est égal à donc je multiplie chaque membre par t1 donc numérateur je vais avoir t1 fois t2 et je divise chaque membre de l'équation par t1 - t2 donc je me retrouve avec petit & est égal au produit t1 t2 / t1 - t2 est par définition petit et c'est le temps qu'il faut pour que le décalage temporel entre les maxima des deux ondes soit égal à t2 c'est donc le temps qu'il faut pour passer d'un instant où les maximums se superposent exactement et on a une amplitude de l'undd insultante maximale à l'instant suivant pour lequel on retrouve une super position exacte des maximums est donc une amplitude de londres résultante également maximum pour faire court ce petit et qu'on a calculé qu on a exprimé ici c'est exactement la période de battement qu'on a noté t b i pour le réécrire la en ôter bettega la t1 t2 / t1 - t2 alors maintenant qu'on a calculé cette période de battement tb on va pouvoir remonter à la fréquence simplement en prenant linverse si j'inverse chaque membre de notre équation ici j'ai donc un sur tb qui est égal à t1 - t2 / t1 fois t2 donc ça je peux le séparer en deux fractions c'est égal à t1 / t1 t2 - t2 / t1 t2 alors on le voit tes seins se simplifient dans le premier terme du membre de droite de notre équation était de se simplifier dans le deuxième terme du membre de droite de notre équation donc on a un sur tb qui est égale 1 / t2 - 1 / t1 or un sur tb c'est directement la fréquence de battement 1 / t2 c'est la fréquence de notre ange bleu f2 et 1 / t1 c'est la fréquence de d'entrendre rouge f1 donc on a bien fb qui est égal à f2 - f alors ici dans notre exemple on a fait attention à choisir la différence t1 - d2 qui soit positive donc on n'a pas besoin dans notre exemple d'utiliser et valeur absolue mais pour avoir une formule un peu plus générale eh bien on peut rajouter la valeur absolue autour de cette différence et donc obtenir la formule fb kiéthéga la valeur absolue de f2 - f1 on sait donc aidé de cet exemple pour montrer que lorsque le décalage temporel entre ces deux ont bien atteint une période ici la période de notre onze bleu on allait maximum qui se superpose à nouveau et donc le temps qui s'est écoulé pour obtenir ce décalage temporel nous permet de trouver la période de battement et en prenant un verre de cette période de battement on peut trouver la formule pour la fréquence de battement