Pourquoi nous n'avons pas pris la valeur négative ici : v=21,9m/s (On prend la racine carrée.) ? la vitesse finale est dirigée vers le bas donc normalement négative non ?

v est la norme du vecteur vitesse, c'est-à-dire sa longueur ; donc c'est toujours positif ou nul. Ce sont les composantes vx et vy du vecteur vitesse qui peuvent être négatives ; ici par exemple, on prend la valeur négative de la racine carrée pour vy (approximativement -20,8 m par s).

Contenu principal

Cours : Physique > Chapitre 2

Leçon 1: Mouvement d'un projectile dans un plan

Qu'est-ce que le mouvement d'un projectile dans un plan ?

Google Classroom

Pour apprendre comment traiter le mouvement des objets dans l'air.

Qu'est-ce que le mouvement d'un projectile dans un plan ?

Lors d'une manifestation, un manifestant bien énervé lance une tomate avec un certain angle d'inclinaison par rapport à l'horizontale. La courbe en pointillés ci-dessous représente la trajectoire de la tomate. La tomate est donc un projectile en mouvement dans un plan, en deux dimensions (l'horizontale et la verticale), soumis uniquement à son poids.

Oui, en effet. Un objet qui se déplace dans l'air subit toujours une certaine résistance de ce dernier. En revanche, traiter ce phénomène physique n'est pas toujours facile, c'est pour cela qu'on suppose la résistance de l'air négligeable, c'est à dire suffisamment faible pour qu'on puisse l'ignorer. Ce n'est pas toujours une bonne hypothèse, mais elle est vérifiée lorsque le poids de l'objet est suffisamment grand devant la résistance de l'air.

Il est important de garder en tête que la force qu'exerce l'air sur un objet, autrement dit la résistance de l'air, augmente avec la vitesse de l'objet. On suppose donc la résistance de l'air négligeable uniquement dans les situations où la vitesse de l'objet est suffisamment petite.

Comme le poids s'exerce verticalement vers le bas, seule la composante verticale du vecteur vitesse

v_{y}

de la tomate sera affectée. La composante horizontale

v_{x}

, elle, restera constante sur toute la trajectoire de la tomate.

Il est possible de déplacer le point sur la représentation graphique ci-dessous de façon à observer l'évolution de la composante verticale

v_{y}

de la vitesse, pendant que la composante horizontale

v_{x}

reste constante.

Application : Quelle est la valeur de la composante verticale du vecteur vitesse lorsque la tomate atteint l'altitude maximale de sa trajectoire ?

Comment traiter mathématiquement le mouvement d'un projectile dans un plan ?

Une des façons la plus simple de traiter les problèmes sur les mouvements de projectiles dans un plan est d'analyser le mouvement séparément sur chaque direction. Autrement dit, on utilisera un système d'équations pour décrire le mouvement horizontal de la tomate, et un système d'équations pour décrire son mouvement vertical. Cela permet de transposer un problème compliqué à deux dimensions en deux problèmes plus simples à une dimension. On se permet d'agir ainsi dans la mesure où les variations des composantes verticale et horizontale ne dépendent pas l'une de l'autre. En particulier, l'accélération verticale de la tomate n'est pas modifiée si elle est lancée avec une vitesse initiale horizontale plus élevée. Autrement dit, un boulet de canon tiré horizontalement atteint le sol au même moment qu'un boulet de canon juste lâché.

Oui. Il est vrai que cette idée semble contre-intuitive pour beaucoup de gens, mais il est certain que si la résistance de l'air est négligeable et si le boulet est tiré exactement sur l'horizontale, ce dernier atteindra bien le sol au même moment que s'il avait été simplement lâché verticalement.

En effet, l'accélération du boulet étant orientée verticalement, elle ne dépend pas de la composante horizontale de son vecteur vitesse, donc les vitesses des deux boulets évoluent de la même manière et en même temps (i.e., le fait qu'un des boulets ait une vitesse de composante horizontale non nulle n'a aucune incidence sur son mouvement vers le bas).

Sur la direction horizontale :

Il n'y a pas d'accélération selon la direction horizontale puisque le poids s'exerce seulement verticalement vers le bas. En revanche, si la résistance de l'air n'était pas négligée, il y aurait une accélération horizontale dont l'effet serait de freiner le mouvement. Dans le cas où la résistance de l'air est supposée négligeable, la composante horizontale de la vitesse du projectile est constante.

Pour la direction horizontale, on peut donc utiliser l'équation suivante :

Δ x = v_{x} t

Dès lors que la vitesse est constante dans une certaine direction, on peut utiliser la formule

Δ x = v t

pour déterminer le déplacement de l'objet dans cette direction.

On peut aussi voir les choses d'une autre manière sachant que si la composante horizontale du vecteur vitesse est constante alors

a_{x} = 0

. En remplaçant

a_{x}

dans l'équation cinématique

Δ x = v_{0 x} t + \frac{1}{2} a_{x} t^{2}

, on obtient

Δ x = v_{0 x} t

. Or, il n'est pas nécessaire de qualifier d'initiale la composante horizontale du vecteur vitesse puisqu'elle est constante. On peut alors remplacer

v_{0 x}

par

v_{x}

et obtenir ainsi

Δ x = v_{x} t

Remarque : il est important de n'utiliser que des variables concernant la direction horizontale dans cette équation. Dès lors que deux variables de cette équation sont connues, on peut déterminer la troisième variable, inconnue.

Sur la direction verticale :

Un projectile en mouvement dans le plan est soumis à une accélération constante dirigée verticalement vers le bas

a_{y} = - 9, 8 \frac{m}{s^{2}}

due à la pesanteur. Puisque cette accélération est constante, il est possible d'utiliser l'une des quatre équations cinématiques du MRUA données ci-dessous.

1. v_{y} = v_{0 y} + a_{y} t

2. Δ y = (\frac{v_{y} + v_{0 y}}{2}) t

3. Δ y = v_{0 y} t + \frac{1}{2} a_{y} t^{2}

4. v_{y}^{2} = v_{0 y}^{2} + 2 a_{y} Δ y

Il est important de n'utiliser que des variables concernant la direction verticale dans ces équations. Dès lors que trois variables de ces équations sont connues, on peut déterminer la quatrième variable, inconnue.

Remarque : pour un mouvement donné, l'intervalle de temps

t

est le même dans les équations selon la verticale et selon l'horizontale. Par conséquent, dès lors que l'on a déterminé l'intervalle de temps

t

, on peut l'utiliser dans n'importe quelle équation, verticale ou horizontale. C'est une méthode couramment utilisée : l'intervalle de temps

t

est par exemple déterminé avec les équations verticales, puis utilisé dans l'équation horizontale, ou inversement.

Quelles sont les difficultés majeures concernant le mouvement d'un projectile dans un plan ?

Souvent, on commet l'erreur d'utiliser une composante verticale dans une équation horizontale, ou inversement. La résolution d'un problème par décomposition selon les directions horizontale et verticale ne fonctionne qu'en conservant les paramètres des deux directions (

x

y

) dans des équations différentes.

Les vecteurs vitesse doivent être décomposés en une composante verticale et une composante horizontale. Ce n'est pas toujours chose facile, se référer à cet article pour savoir comment appliquer la trigonométrie à la décomposition d'un vecteur selon ses composantes.

Lorsqu'un projectile est lancé horizontalement, la composante verticale de son vecteur vitesse est initialement nulle

v_{0 y} = 0

(voir exemple 1 ci-dessous). Ce n'est pas toujours facile à comprendre, mais un objet peut bel et bien démarrer sa course avec un vecteur vitesse de composante horizontale non nulle et de composante verticale nulle.

Exercices d'application sur le mouvement d'un projectile dans un plan

Exemple 1 : Ballon d'eau lancé horizontalement

Un ballon rempli d'eau est lancé horizontalement avec une vitesse

v_{0} = 8, 31 \frac{m}{s}

depuis le toit d'un bâtiment de hauteur

H = 23, 0 m

Quelle est la distance maximale que peut atteindre le ballon sur l'horizontale avant de toucher le sol ?

Dans un premier temps, on schématise le problème en précisant les données.

Il suffit de connaître le temps de vol

t

pour utiliser l'équation

Δ x = v_{x} t

et déterminer le déplacement horizontal. Pour calculer

t

, on remarque que trois variables sont déjà connues sur la direction verticale (

Δ y = - 23, 0 m

v_{0 y} = 0

a = - 9, 8 \frac{m}{s^{2}}

La composante verticale du vecteur vitesse initial est nulle (

v_{0 y} = 0

) puisque le ballon est lancé horizontalement au départ. Pour que cette dernière soit non nulle, il faudrait que le ballon soit lancé avec un angle d'inclinaison, vers le haut ou vers le bas, par rapport à l'horizontale.

Le déplacement vertical est

- 23, 0 m

puisque le ballon est en chute depuis le haut du bâtiment.

L'accélération sur la direction verticale est toujours l'accélération de la pesanteur

a_{y} = - g = - 9, 8 \frac{m}{s^{2}}

On se sert donc d'une équation cinématique sur la direction verticale pour exprimer

t

. Puisqu'on ne connait pas la vitesse finale

v_{y}

et qu'elle n'est pas demandée, on doit utiliser l'équation cinématique qui ne contient pas

v_{y}

Δ y = v_{0 y} t + \frac{1}{2} a_{y} t^{2} (On utilise l’équation cinématique selon la verticale qui ne contient pas la vitesse finale.)

- H = (0) t + \frac{1}{2} (- g) t^{2} (On remplace les grandeurs par les notations de l’énoncé.)

t = \sqrt{\frac{2 H}{g}} (On exprime le temps de vol t.)

t = \sqrt{\frac{2 \times (- 23, 0 m)}{- 9, 8 \frac{m}{s^{2}}}} = 2, 17 s (On fait l’application numérique et on précise les unités.)

Ensuite, il faut remplacer le temps

t

dans l'équation selon l'horizontale pour déterminer le déplacement horizontal

Δ x

Δ x = v_{x} t (On utilise l’équation donnant le déplacement horizontal.)

Δ x = (8, 31 \frac{m}{s}) \times (2, 17 s) (On remplace les grandeurs par leurs valeurs numériques.)

A partir des équations selon la verticale, on a calculé le temps de vol

t = 2, 17 s

La magnitude de la composante horizontale du vecteur vitesse initial est en fait la vitesse initiale

8, 31 \frac{m}{s}

puisque le ballon a été lancé horizontalement. S'il avait été lancé avec un angle d'inclinaison, vers le haut ou vers le bas par rapport à l'horizontale, il aurait fallu alors utiliser la trigonométrie pour déterminer la composante horizontale de son vecteur vitesse initial.

Δ x = 18, 0 m (On fait l’application numérique et on précise les unités.)

Le ballon d'eau a donc atteint le sol à

18, 0 m

du bâtiment.

Oui, et c'est d'ailleurs une méthode intéressante qui permet de résoudre n'importe quel problème de ce type.

On remplace le temps

t = \sqrt{\frac{2 H}{g}}

et la vitesse initiale

v_{0}

dans l'équation donnant le déplacement horizontal

Δ x = v_{x} t

, et on obtient :

Δ x = v_{0} \sqrt{\frac{2 H}{g}}

Cette formule est alors valable pour n'importe quel projectile lancé horizontalement à n'importe quelle vitesse initiale

v_{0}

depuis le bord d'un bâtiment de n'importe quelle hauteur

H

. Il suffit juste de remplacer les grandeurs par les données numériques du problème, et la formule permet de calculer la distance maximale qu'atteindra le projectile au niveau du sol.

Exemple 2 : Citrouille lancée avec un angle d'inclinaison

Un canon est utilisé pour lancer une citrouille depuis une falaise de hauteur

H = 18, 0 m

avec une vitesse initiale

v_{0} = 11, 4 \frac{m}{s}

et un angle d'inclinaison

θ = 52, 1^{\circ}

, comme montré sur le schéma suivant.

Quelle est la vitesse de la citrouille juste avant l'impact avec le sol ?

Pour déterminer la vitesse finale de la citrouille, c'est à dire la norme du vecteur vitesse final, il suffit de déterminer les composantes de ce dernier,

v_{x}

v_{y}

L'énoncé précise bien qu'on recherche la vitesse finale juste avant l'impact avec le sol, cette dernière n'est donc pas nulle.

De plus, lorsque la citrouille touche le sol, son accélération ne sera plus

a_{y} = - 9, 8 \frac{m}{s^{2}}

dans la mesure où la collision génère soudainement une très grande accélération inconnue. Il ne faut pas oublier que les équations cinématiques ne sont valables que pour des intervalles de temps pendant lesquels l'accélération reste constante. En général, on ne considère donc pas l'instant où le projectile entre en collision avec le sol puisque l'accélération générée est inconnue.

Dans un premier temps, il faut déterminer les composantes du vecteur vitesse initial (

v_{0 x}

v_{0 y}

) en utilisant les définitions de sinus et de cosinus.

cos θ = \frac{côté adjacent}{hypoténuse} = \frac{v_{0 x}}{v_{0}} (On utilise la définition du cosinus.)

v_{0 x} = v_{0} cos θ (On exprime v_{0 x})

v_{0 x} = (11, 4 \frac{m}{s}) \times cos (52, 1^{\circ}) (On remplace les grandeurs par leurs valeurs numériques.)

v_{0 x} = 7, 00 \frac{m}{s} (On calcule v_{0 x} .)

(Remarque : Si cela semble encore de la sorcellerie mathématique indéchiffrable, se reporter à cet article pour mieux comprendre la décomposition d'un vecteur en ses composantes.)

Si l'on néglige la résistance de l'air, la composante horizontale du vecteur vitesse reste constante sur toute la durée du mouvement. La valeur initiale de cette composante horizontale déterminée plus haut,

v_{0 x} = 7, 00 \frac{m}{s}

, est donc aussi sa valeur finale,

v_{x} = 7, 00 \frac{m}{s}

Pour déterminer la composante verticale du vecteur vitesse initial, on utilise la même méthode que précédemment avec le sinus au lieu du cosinus.

sin θ = \frac{côté opposé}{hypoténuse} = \frac{v_{0 y}}{v_{0}} (On utilise la définition du sinus.)

v_{0 y} = v_{0} sin θ (On exprime v_{0 y} .)

v_{0 y} = (11, 4 \frac{m}{s}) \times sin (52, 1^{\circ}) (On remplace les grandeurs par leurs valeurs numériques.)

v_{0 y} = 9, 00 \frac{m}{s} (On calcule v_{0 y} .)

Puisque la composante verticale

v_{y}

évolue lors du mouvement de ce projectile dans l'air, on doit utiliser une équation cinématique sur la direction verticale pour déterminer

v_{y}

. On ne connait pas l'intervalle de temps

t

et il n'est pas demandé dans l'énoncé, on va donc utiliser une équation cinématique qui ne contient pas

t

v_{y}^{2} = v_{0 y}^{2} + 2 a_{y} Δ y (On utilise l’équation cinématique qui ne contient pas le temps t .)

v_{y}^{2} = (9, 00 \frac{m}{s})^{2} + 2 \times (- 9, 8 \frac{m}{s^{2}}) \times (- 18 m) (On remplace les grandeurs par leurs valeurs numériques.)

v_{y}^{2} = 434 \frac{m^{2}}{s^{2}} (On fait l’application numérique.)

v_{y} = \pm \sqrt{434 \frac{m^{2}}{s^{2}}} = \pm 20, 8 \frac{m}{s} (On prend la racine carrée.)

v_{y} = - 20, 8 \frac{m}{s} (On choisit la valeur négative puisque la citrouille se dirige vers le bas.)

Maintenant que les composantes horizontale et verticale du vecteur vitesse final sont connues, on utilise le théorème de Pythagore pour calculer sa norme.

v^{2} = v_{x}^{2} + v_{y}^{2} (On utilise le théorème de Pythagore.)

v^{2} = (7, 00 \frac{m}{s})^{2} + (- 20, 8 \frac{m}{s})^{2} (On remplace les composantes du vecteur vitesse par leurs valeurs numériques.)

v^{2} = 482 \frac{m^{2}}{s^{2}} (On fait l’application numérique.)

v = 21, 9 \frac{m}{s} (On prend la racine carrée.)

La vitesse

v = 21, 9 \frac{m}{s}

est donc la norme du vecteur vitesse final de la citrouille juste avant son impact au sol. Le schéma ci-dessous montre le lien entre ce vecteur et ses composantes.

On peut aussi déterminer l'angle d'inclinaison

ϕ

du vecteur vitesse final en utilisant la définition de la tangente.

tan ϕ = \frac{côté opposé}{côté adjacent} = \frac{v_{y}}{v_{x}}

tan ϕ = \frac{20, 8 \frac{m}{s}}{7, 00 \frac{m}{s}}

L'idée est de déterminer l'amplitude de l'angle d'inclinaison entre l'horizontale et le vecteur vitesse final, on utilise donc simplement les valeurs absolues des composantes horizontale et verticale du vecteur vitesse.

On procède comme cela dans la mesure où le calcul ne nous permet pas de déterminer dans quel quadrant se trouve l'angle puisque l'éventuel signe moins peut venir du numérateur ou du dénominateur dans le rapport des composantes. Pour éviter cette incertitude, on dessine le vecteur vitesse avec la bonne orientation, on traite les côtés du triangle ou les composantes de vitesse comme positifs, et on calcule l'amplitude de l'angle d'inclinaison considéré.

En prenant l'arctangente de chaque côté du signe égal, on obtient :

t a n^{- 1} (tan ϕ) = t a n^{- 1} (\frac{20, 8 \frac{m}{s}}{7, 00 \frac{m}{s}})

La partie gauche de l'équation donne simplement

ϕ

, et l'application numérique de la partie droite donne :

ϕ = 71, 4^{\circ}

Vous souhaitez rejoindre la discussion ?

Connectez-vous

Trier par :

drira.houda9
Posté il y a il y a 5 ans. Lien direct vers le message de drira.houda9 «Pourquoi nous n'avons pas ... »
Pourquoi nous n'avons pas pris la valeur négative ici :
v=21,9m/s (On prend la racine carrée.) ? la vitesse finale est dirigée vers le bas donc normalement négative non ?
Bouton qui renvoie à la page de connexionBouton qui renvoie à la page de connexion
(2 votes)
Réponse
- Grégory Deceliere
  Posté il y a il y a 5 ans. Lien direct vers le message de Grégory Deceliere «v est la norme du vecteur ... »
  v est la norme du vecteur vitesse, c'est-à-dire sa longueur ; donc c'est toujours positif ou nul. Ce sont les composantes vx et vy du vecteur vitesse qui peuvent être négatives ; ici par exemple, on prend la valeur négative de la racine carrée pour vy (approximativement -20,8 m par s).
  Bouton qui renvoie à la page de connexion
  (2 votes)
yasmine afkir
Posté il y a il y a 2 ans. Lien direct vers le message de yasmine afkir «comment faire pour calcul ... »
comment faire pour calculer la hauteur d'une falaise là ou atterrissent deux projectiles à la meme vitesse de 50m/s
le premier projetcile est lancé avec un angle de 60 degré et le deuxième de 45 degré ?
(ils sont lancés du meme endroit et arrivent au meme endroit)
Bouton qui renvoie à la page de connexionBouton qui renvoie à la page de connexion
(1 vote)
Réponse

Vous comprenez l'anglais ? Cliquez ici pour participer à d'autres discussions sur Khan Academy en anglais.