La somme des n premiers carrés - partie 1

dans cette vidéo on va calculer la somme pour y allant de zéro à petit n 2 i carré donc ça c'est très intéressant d'arriver à pouvoir trouver une expression simple de cette somme puisque évidemment si on a des valeurs de petites haines qui sont grandes ça serait trop long d'additionner tous les ternes donc cette somme me ressemble à quoi pour les premiers termes si égal à zéro ça fait zéro au carré c'est à dire zéro plus égale 1 à 1 au carré +2/4 et +3 au carré plus quatre carrés plus etc etc jusqu'à petit n o car est donc là on peut toujours prendre la calculette et si on nous dit de calculer la somme pour 2 égal zéro jusqu'à quatorze douilles au carré bien prendre sa calculette prendre son mal en patience et faire et rocard et plus et aucun n'avait plus d'eau au carré +3 au carré puisque atocas et puis c'est que ces terres etc jusqu'à + 14 au carré mais ce que je te propose dans cette vidéo c'est d'arriver à une expression plus simple de cette somme de cette série et pour cela eh bien on va devoir faire quelques observations pour commencer alors déjà je te propose de regarder un petit peu d'évaluer ce que vaut la somme pour des petites valeurs de petites haines par exemple on va tester la valeur petit n est égal à zéro on va aussi regarder ce que ça vaut quand petit âne est égal à 1 à 2 à 3 et à 4 donc ce qu'on va regarder c'est bien la valeur de la série donc somme de y est égal à zéro de petites haines somme de y est égal à zéro jusqu'à petit n 2 il y aurait donc ça ça vaut quoi mais quand on n est égal à zéro on va aller de il égale à zéro jusqu'à 0 donc on va faire juste 0 et 0 au carré ça fait zéro suite quand elle est égale à 1 on va avoir juste les deux premiers terme c'est-à-dire 0 au quart et +1 au carré donc ça va faire un an suite si on va jusqu'au rang n égale à 2 on va avoir un au carré +2/4 est à dire 4 donc un +4 ça va nous faire 5 ensuite on va ajouter 3 x 3 9 donc 5 et 9 14 ensuite pour n est égal à 4 on va devoir rajouter le terme cat rocard est à dire 16 et 16 14 ça vaut 30 etc etc alors déjà ce qu'on peut ce qu'on peut tester c est ce que il ya une relation linéaire dans cette série pour tester ça on peut faire là on peut regarder de combien il faut additionner pour passer d'un terrain à l'autre si jamais il faut tout le temps additionnel à une chose il y aura une relation linéaire donc là on en rajoute un ici on rajoute 4 ici on doit rajouter 9 et ici on doit rajouter 16 bombes a clairement c'est pas du tout constant ces valeurs là c'est des valeurs très différentes donc on n'a pas une relation linéaire donc la relation linéaire non ensuite on peut tester une relation quadratique donc cette fois ci on va faire les différences des différences donc ça c'était le premier rang maintenant on va regarder de combien il faut passer pour aller de l'un à l'autre donc pour aller de 1 à 4 3 pour mettre 4 à 9 5 on les 9 à 16,7 donc là on est en train de tester si la relation et quadratique pour cela il faudrait que ce soit constant là ces nombres c'est pas le cas c'est pas non plus une relation quadratique maintenant si on continue si on regarde la différence de la différence de la différence c'est à dire si on regarde l'évolution de ces termes la halle 3 5 7 et bien cette fois ci on teste une relation cubique pour passer 3 5 il faut rajouter deux pour passer de 5 à 7 il faut rajouter 2 à et là on arrive sur deux fois le même nombre donc on a affaire à une relation cubique ça c'est validé c'est cubique puisque là c'est constant alors si ces publics ça veut dire qu'on va pouvoir réécrire notre sommes comme une relation cubique par rapport à la variable n c'est à dire à foix n au cube plus b soit m² + c x n plus des dons qu ça c'est bien une fonction polinum d'ordre 3 ils sont c'est donc ça qui fait intervenir une relation cubique alors maintenant il faut réussir à trouver a b c et d donc c'est là où on va se lancer un petit peu dans des observations donc premières observations ci n est égal à zéro on a vu quand elle est égale à zéro la somme de la valeur 0 l'ancien est égal à zéro la somme de io carré est égal à zéro on sait ça c'est quand même égal zéro mais c'est aussi égal à cette expression là et cette expression là quand elle est égale à zéro elle se réduit à des donc d'été gala 0 donc on peut tout de suite éliminer des on sait qu'il faut 0 donc comme on le sait ben on a observé la ce qui se passait quand on n était égale à zéro maintenant on va continuer on va regarder ce qui se passe quand elles n'étaient gala quand elle est égale à 1 la somme est égal à 1 elle est aussi égal à cette expression là avec une égale 1 c'est-à-dire à x 1 go cube 1 occupe c'est un donc a + b fois au carré c'est à dire 1 x b b + c x 1 aider on l'a éliminée ensuite quand elle est égale à deux baies à la sommes donc là pour aller plus vite un tueur marc que j'écris juste le signe somme je remets paillot carré 1 cc une notation la somme est égal à 5 et par ailleurs elle est aussi égal à cette expression là avec un égal 2 donc ça à faire donc deux occupent ces huit donc ça à faire 8 à plus 4 b + 2 c et je vais aussi regarder ce qui se passe quand elle est égale à 3 quand elle est égale à 3 la somme vaut 14 et par ailleurs elle va valoir trois au cube donc 3 x 3 9 x 3 27 27 à +3 au carré c'est à dire neuf 9 b + 3 pouces et donc là je pourrais continuer je pourrais regarder ce que j'ai l'espace pour n égale 4 etc mais pourquoi je vais m'arrêter là parce que je suis à la recherche de trois inconnus à b et c donc trois équations me suffisent et là je les ai là j'ai trois équations 1 est égal à a + b + c 5 est égal à 8 à plus quatre des plus de ses 14 est égale à 27 à + 9 mai +3 c'est là je vais les encadrer en pointillé pour bien qu'on les voit ses trois équations voilà elles sont là ces trois équations forment un système et on va le résoudre pour trouver à b et c donc je te propose de le résoudre toi même là avant que je le fasse sur la vidéo et que tu arrives à déterminer les valeurs de à b et c