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Cours : 1re année secondaire > Chapitre 11 

Leçon 3: Les translations dans le plan repéré
Mathématiques
1re année secondaire
Géométrie : Les transformations dans le plan
Les translations dans le plan repéré
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Construire l'image d'une figure par une translation dans un repère du plan

Google Classroom
Comment construire l'image d'un point, d'un segment de droite, d'un triangle, ou d'un quadrilatère par une translation donnée.

Introduction

Il s'agit dans cette leçon de s'entraîner à construire l'image d'une figure par une translation.
Appliquer la translation ⟨a,b⟩ c'est déplacer les points de la figure de a unités parallèlement à l'axe des x, puis de b unités parallèlement à l'axe des y. Sur ce site, cette translation est notée T(a,b).

1 - Construire l'image d'un point

Un exemple

Construire l'image A′ de A(4 ; −7) par la translation T(−10,5).
Un plan repéré avec le point A à quatre, moins sept, et les axes x et y à une échelle de un. Les axes x et y sont gradués de un en un.

Réponse

Appliquer la translation T(−10,5), c'est déplacer les points de la figure de −10 parallèlement à l'axe des x, puis de +5 parallèlement à l'axe des y, c'est-à-dire de 10 unités vers la gauche et de 5 unités vers le haut
On déplace le point A(4 ; −7) de 10 unités vers la gauche et de 5 unités vers le haut.
Un plan repéré avec le point A à quatre, moins sept. Les axes x- et y- sont échelonnés par un. Une flèche pointillée pointe dix unités vers la gauche et vers le haut cinq unités pour pointer A prime à moins six, moins deux .
On peut aussi calculer directement les coordonnées de A′. Pour trouver son abscisse, on retranche 10 à l'abscisse de A, et pour trouver son ordonnée, on ajoute 5 à l'ordonnée de A.
A′(4−10 ; −7+5), A′(−6 ; −2)

A vous !

Exercice 1

Construire l'image de B(6 ; 2) par la translation T(−4,−8).

Exercice 2

Quelles sont les coordonnées du point de coordonnées (23 ; −15) par la translation T(12,32) ?
(
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
 ; 
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
)

2 - Construire l'image d'un segment de droite

Un exemple

Construire l'image du segment [CD] par la translation T(9,−5).
Un plan repéré avec un segment de droite dont les extrémités sont C à sept, huit et D à quatre, un. Les axes x et y sont gradués de un en un.

Réponse

Appliquer une translation à un segment, c'est appliquer cette translation à tous les points qui constituent ce segment.
Heureusement, il n'est pas nécessaire d'appliquer la translation à tous les points du segment. Ce serait d'ailleurs impossible car un segment est constitué d'une infinité de points. Il suffit de construire les images des extrémités du segment.
Un plan repéré avec un segment de droite dont les extrémités sont C à sept, huit et D à quatre, un. Les axes x et y sont gradués de un en un. Une flèche pointe de neuf unités vers la droite à partir de C et de cinq unités vers le bas jusqu'au point C prime. Une flèche pointe neuf unités vers la droite à partir de D et descend de cinq unités jusqu'au point D prime.
L'image du segment de droite [CD] par la translation est le segment de droite d'extrémités C′ et D′.
Un plan repéré avec un segment de droite dont les extrémités sont C à sept, huit et D à quatre, un. Les axes x et y sont gradués de un en un. Un autre segment de droite a pour extrémités C prime à deux, trois et D prime à cinq, moins quatre. Une flèche pointe de l'extrémité C à l'extrémité C prime et une autre flèche pointe de l'extrémité D à D prime.

3 - Construire l'image d'un polygone

Un exemple

Construire l'image du quadrilatère EFGH par la translation T(−6,−10).
Un plan repéré avec un quadrilatère dont les sommets sont E à un, six, F à trois, huit, G à deux, deux, et H à deux, trois. Les axes x et y sont gradués de un en un.

Réponse

Il s'agit de trouver les images par la translation de tous les points qui constituent le polygone.
Un plan repéré avec un quadrilatère dont les sommets sont E à un, six, F à trois, huit, G à deux, deux, et H à deux, trois. Les axes x et y sont gradués de un en un. Un quadrilatère congruent dont les sommets E prime est à sept, moins quatre, F prime est à trois, moins deux, G prime est à quatre, moins huit, et H prime est à huit, moins sept. Une flèche pointe le sommet E vers E premier. Une flèche pointe le sommet F vers F prime. Une autre flèche pointe de G à G prime, et une flèche pointe du sommet H à H prime.
Il suffit de construire les images des sommets E, F, G et H.

A vous !

Exercice 1

Construire l'image du triangle IJK par la translation T(−5,2).

Exercice 2

Construire les images des segments de droite [ML] et [NO] par la translation T(10,0).

Un dernier exercice

On sait que le triangle P′Q′R′ est l'image du triangle PQR par la translation T(4,−7), mais le triangle PQR a été effacé.
Retrouver le triangle PQR.

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