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5e année secondaire - 4 h
Cours : 5e année secondaire - 4 h > Chapitre 6
Leçon 3: Nombre dérivé (d'une fonction, en un point)- Newton, Leibniz et Usain Bolt
- Le concept de dérivée
- Taux de variation d'une fonction sur l'intervalle [a, b] et sécante à la courbe de cette fonction aux points d'abscisses a et b
- Taux de variation d'une fonction sur l'intervalle [a, b] et sécante à la courbe de cette fonction aux points d'abscisses a et b
- Donner une valeur approchée d'un nombre dérivé
- Le nombre dérivé
- Nombre dérivé de f en t et tableau de valeurs de (f(x) - f(t)) / (x-t)
- Nombre dérivé de f en t et tableau de valeurs de (f(x) - f(t)) / (x-t)
- Nombre dérivé en -1 d'une fonction affine
- Nombre dérivé en π de la fonction cosinus
- Nombre dérivé et lecture graphique
- Un exercice sur le nombre dérivé
- Valeur de la dérivée et tangente à la courbe représentative de la fonction
- Valeur de la dérivée et tangente à la courbe représentative de la fonction
- Tangente à une courbe et nombre dérivé
- Appliquer les définitions du nombre dérivé et de la fonction dérivée
Tangente à une courbe et nombre dérivé
.
Introduction
Le premier objet de cette leçon est de relier le taux de variation d'une fonction sur un intervalle et le coefficient directeur de la sécante à sa courbe représentative aux points d'abscisses et . Son deuxième objet est le relier le nombre dérivé de la fonction en et le coefficient directeur de la tangente à sa courbe représentative au point d'abscisse .
Sécante et tangente à une courbe
Soient deux points distincts et de la courbe représentative de la fonction , la droite passant par ces deux points est appelée sécante à la courbe de en et . Le coefficient directeur de cette sécante vaut :
Quand l'abcisse est proche de , le point sera proche du point . Le coefficient directeur des sécantes va tendre vers le coefficient directeur de la tangente à la courbe en . La tangente est la position limite de ces sécantes. Son coefficient directeur est égal à la limite quand tend vers du coefficient directeur des sécantes :
Si on pose , alors et quand . Le coefficient directeur de la tangente s'écrit alors :
Si la limite existe, sa valeur est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de au point .
Exemple 1
Quel est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction définie par au point de coordonnées ?
Solution
On remplace par dans la formule du coefficient directeur de la tangente à une courbe en un point :
on obtient :
Donc, le coefficient directeur de la tangente est . Une équation de la droite de coefficient directeur qui passe par le point de coordonnées est :
Une équation de la tangente à la courbe de la fonction au point d'abscisse est :
qui s'écrit encore :
Le coefficient directeur de la tangente en un point quelconque
Maintenant, nous allons définir le coefficient directeur de la tangente en un point quelconque de la courbe représentative d'une fonction . Pour cela, on remplace la constante par la variable dans la formule précédente :
Par définition, cette limite est le nombre dérivé de en , noté :
où se lit " prime de ".
Exemple 2
Si , déterminer . Utiliser ce résultat pour calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse et au point d'abscisse .
Solution
Par définition,
alors
Pour calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe en on remplace par dans l'expression de . On fait de même pour . On obtient :
et
Les coefficients directeurs des tangentes à la courbe au point d'abscisse et au point d'abscisse sont respectivement et .
Exemple 3
Quel est le coefficient directeur de la tangente à la courbe d'équation au point de coordonnées
Solution
On utilise la formule :
On remplace par
En remplaçant par :
Donc, le coefficient directeur de la tangente à la courbe d'équation au point d’abscisse est . Une équation de la droite de coefficient directeur qui passe par le point de coordonnées est :
ici . Une équation de la tangente au point d'abscisse est :
Vitesse moyenne
La vitesse moyenne est égale au taux de variation de la fonction qui à la durée fait correspondre la distance parcourue. Si une voiture parcourt kilomètres en heures, sa vitesse moyenne est :
Cette vitesse est sa vitesse moyenne. Mais si la vitesse moyenne de la voiture au cours des heures du trajet a été de , cela ne signifie pas qu'elle a roulé à la vitesse constante de .
Si par malheur la voiture est entrée en collision avec une autre voiture au cours du trajet l'ampleur des dégâts n'est pas fonction de la vitesse moyenne de la voiture ; elle est fonction de sa vitesse à l'instant de la collision. Il y a deux types de vitesse, la vitesse moyenne et la vitesse instantanée.
La vitesse moyenne est le quotient de la distance parcourue par la durée du parcours :
Si on considère la courbe représentative de la , la vitesse moyenne est aussi le coefficient directeur de la à cette courbe qui passe par les points de coordonnées et :
La vitesse moyenne entre les instants et est donc le coefficient directeur de la sécante qui passe par les points de coordonnées et . Si est très proche de , alors la vitesse moyenne est très proche de la vitesse instantanée en .
Taux de variation
Le taux de variation d'une fonction sur un intervalle est le coefficient directeur de la droite qui joint les points dont les abscisses sont les extrémités de cet intervalle. Le taux de variation instantané, c'est-à-dire le nombre dérivé, de en une valeur donnée est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de au point d'abscisse .
Taux de variation
Le taux de variation de sur l'intervalle est :
On a représenté ci-dessous la à la qui passe par les points de coordonnées et . Le coefficient directeur de cette sécante est le taux de variation .
Taux de variation instantané ou nombre dérivé
Le taux de variation instantané, ou le nombre dérivé, de en est :
On a représenté ci-dessous la à la au point de coordonnées . Le coefficient directeur de cette tangente est le taux de variation instantané, ou le nombre dérivé, .
Exemple 4
Soit la fonction définie par .
(a) Calculer le taux de variation de sur l'intervalle .
(b) Calculer le taux de variation instantané de en .
Solution
(a) On applique la formule du taux de variation avec , et :
Le taux de variation de sur l'intervalle est égal à .
(b) Dans l'exemple 2, on a montré que , donc
Le taux de variation instantané est négatif. La fonction est décroissante en .
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- Bonjour,
Il manquerait des étapes d'explication par exemple dans l'exemple de la solution 3.
En passant de la 1ere a la 2e ligne en ayant remplacer f(x) par 1/x(1 vote)- Bonjour,
On remplace f(x) par 1/x car c'est l'équation de la courbe qui est donnée dans l'énoncé.
Une courbe a toujours pour équation y=f(x) : c'est le lien entre
- une fonction, définie par exemple par f(x)=1/x (pour trouver l'image de x par la fonction f, on calcule 1/x)
- et sa courbe, formée de tous les points d'abscisse x et d'ordonnée y, cette ordonnée y valant f(x), l'image de x par la fonction f.
J'espère que c'est plus clair...(2 votes)