Tangente à une courbe et nombre dérivé

Le premier objet de cette leçon est de relier le taux de variation d'une fonction sur un intervalle $[a;b]$‍ et le coefficient directeur de la sécante à sa courbe représentative aux points d'abscisses $a$‍ et $b$‍. Son deuxième objet est le relier le nombre dérivé de la fonction en $c$‍ et le coefficient directeur de la tangente à sa courbe représentative au point d'abscisse $c$‍.

Soient deux points distincts $P(x_0;y_0)$‍ et $Q(x_1;y_1)$‍ de la courbe représentative de la fonction $f$‍, la droite passant par ces deux points est appelée sécante à la courbe de $f$‍ en $P$‍ et $Q$‍. Le coefficient directeur de cette sécante vaut :

${\displaystyle m_{\sec }={\displaystyle \frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}}={\displaystyle \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}}}$‍.

Quand l'abcisse $x_1$‍ est proche de $x_0$‍, le point $Q$‍ sera proche du point $P$‍. Le coefficient directeur des sécantes $(PQ)$‍ va tendre vers le coefficient directeur de la tangente à la courbe en $P$‍. La tangente est la position limite de ces sécantes. Son coefficient directeur est égal à la limite quand $x_1$‍ tend vers $x_0$‍ du coefficient directeur des sécantes :

${\displaystyle m_{\tan }=\underset{x_1\to x_0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}}}$‍.

Si on pose $h=x_1-x_0$‍, alors $x_1=x_0+h$‍ et $h\to 0$‍ quand $x_1\to x_0$‍. Le coefficient directeur de la tangente s'écrit alors :

${\displaystyle m_{\tan }=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}}$‍.

Si la limite existe, sa valeur $m_{\tan }$‍ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$‍ au point $P(x_0;y_0)$‍.

Quel est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$‍ définie par $f(x)=x^3$‍ au point de coordonnées $(2;8)$‍ ?

On remplace $(x_0;y_0)$‍ par $(2;8)$‍ dans la formule du coefficient directeur de la tangente à une courbe en un point :

on obtient :

Donc, le coefficient directeur de la tangente est $12$‍. Une équation de la droite de coefficient directeur $m_{tan}$‍ qui passe par le point de coordonnées $(x_0;y_0)$‍ est :

${\displaystyle y-y_0=m_{\tan }\times (x-x_0)}$‍.

Une équation de la tangente à la courbe de la fonction au point d'abscisse $2$‍ est :

qui s'écrit encore :

${\displaystyle y=12x-16}$‍.

Maintenant, nous allons définir le coefficient directeur de la tangente en un point quelconque de la courbe représentative d'une fonction $f$‍. Pour cela, on remplace la constante $x_0$‍ par la variable $x$‍ dans la formule précédente :

${\displaystyle m_{\tan }=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}}$‍.

Par définition, cette limite est le nombre dérivé de $f$‍ en $x$‍, noté $f^{\prime }(x)$‍ :

${\displaystyle f{}^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}}$‍,

où $f^{\prime }(x)$‍ se lit "$f$‍ prime de $x$‍".

Si $f(x)=x^2-3$‍, déterminer $f{}^{\prime }(x)$‍. Utiliser ce résultat pour calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $x=2$‍ et au point d'abscisse $x=-1$‍.

Par définition,

${\displaystyle f{}^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}}$‍,

alors

Pour calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe en $x=2$‍ on remplace $x$‍ par $2$‍ dans l'expression de $f^{\prime }(x)$‍. On fait de même pour $x=-1$‍. On obtient :

et

${\displaystyle f{}^{\prime }(-1)=2\times (-1)=-2}$‍.

Les coefficients directeurs des tangentes à la courbe au point d'abscisse $2$‍ et au point d'abscisse $-1$‍ sont respectivement $4$‍ et $-2$‍.

Quel est le coefficient directeur de la tangente à la courbe d'équation $y=1/x$‍ au point de coordonnées $(1;1)?$‍

On utilise la formule :

On remplace $f(x)$‍ par $1/x$‍

En remplaçant $x$‍ par $1$‍ :

$f^{\prime }(1)={\displaystyle \frac{-1}{(1{)}^2}}=-1$‍.

Donc, le coefficient directeur de la tangente à la courbe d'équation $y=1/x$‍ au point d’abscisse $1$‍ est $m=-1$‍. Une équation de la droite de coefficient directeur $m$‍ qui passe par le point de coordonnées $(x_0;y_0)$‍ est :

${\displaystyle y-y_0=m\times (x-x_0)}$‍,

ici $(x_0;y_0)=(1;1)$‍. Une équation de la tangente au point d'abscisse $1$‍ est :

La vitesse moyenne est égale au taux de variation de la fonction qui à la durée fait correspondre la distance parcourue. Si une voiture parcourt $120$‍ kilomètres en $4$‍ heures, sa vitesse moyenne est :

${\displaystyle \frac{120\text{ km}}{4\text{ heures}}}=30\text{ km/h}$‍.

Cette vitesse est sa vitesse moyenne. Mais si la vitesse moyenne de la voiture au cours des $4$‍ heures du trajet a été de $30\text{ km/h}$‍, cela ne signifie pas qu'elle a roulé à la vitesse constante de $30\text{ km/h}$‍.

Si par malheur la voiture est entrée en collision avec une autre voiture au cours du trajet l'ampleur des dégâts n'est pas fonction de la vitesse moyenne de la voiture ; elle est fonction de sa vitesse à l'instant de la collision. Il y a deux types de vitesse, la vitesse moyenne et la vitesse instantanée.

La vitesse moyenne est le quotient de la distance parcourue par la durée du parcours :

Si on considère la courbe représentative de la $\text{ fonction qui à la durée fait correspondre la distance parcourue}$‍, la vitesse moyenne est aussi le coefficient directeur de la $\text{sécante}$‍ à cette courbe qui passe par les points de coordonnées $(t_0,x_0)$‍ et $(t_1,x_1)$‍ :

La vitesse moyenne entre les instants $t_0$‍ et $t_1$‍ est donc le coefficient directeur de la sécante qui passe par les points de coordonnées $(t_0,x_0)$‍ et $(t_1,x_1)$‍. Si $t_1$‍ est très proche de $t_0$‍, alors la vitesse moyenne est très proche de la vitesse instantanée en $t_0$‍.

Le taux de variation d'une fonction $f$‍ sur un intervalle est le coefficient directeur de la droite qui joint les points dont les abscisses sont les extrémités de cet intervalle. Le taux de variation instantané, c'est-à-dire le nombre dérivé, de $f$‍ en une valeur donnée $a$‍ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$‍ au point d'abscisse $a$‍.

Le taux de variation de $f$‍ sur l'intervalle $[x_0,x_1]$‍ est :

On a représenté ci-dessous la $\text{sécante}$‍ à la $\text{courbe représentative de}f$‍ qui passe par les points de coordonnées $(x_0,f(x_0))$‍ et $(x_1,f(x_1))$‍. Le coefficient directeur de cette sécante est le taux de variation $m_{\sec }$‍.

Le taux de variation instantané, ou le nombre dérivé, de $f$‍ en $x_0$‍ est :

On a représenté ci-dessous la $\text{tangente}$‍ à la $\text{courbe représentative de}f$‍ au point de coordonnées $(x_0,f(x_0))$‍. Le coefficient directeur de cette tangente est le taux de variation instantané, ou le nombre dérivé, $m_{\tan }$‍.

Soit la fonction définie par $f(x)=x^2-3$‍.

(a) Calculer le taux de variation de $f$‍ sur l'intervalle $[0;2]$‍.

(b) Calculer le taux de variation instantané de $f$‍ en $x=-1$‍.

(a) On applique la formule du taux de variation avec $f(x)=x^2-3$‍, $x_0=0$‍ et $x_1=2$‍ :

Le taux de variation de $f$‍ sur l'intervalle $[0,2]$‍ est égal à $2$‍.

(b) Dans l'exemple 2, on a montré que $f{}^{\prime }(x)=2x$‍, donc

Le taux de variation instantané est négatif. La fonction est décroissante en $x=-1$‍.