Résoudre une équation dans laquelle l'inconnue est en exposant (leçon)

Pour résoudre une équation où l'inconnue est en exposant, on utilise quasi-systématiquement les logarithmes ! Quelques exemples pour comprendre.

Résoudre une équation de la forme $a \times b^{x} = d$ ‍

Comment résoudre l'équation

5 \times 2^{x} = 240 ?

On commence par isoler la puissance. Pour cela, on divise les deux membres par

5

. Remarque : Attention à ne pas faire l'erreur de multiplier

5

2

\begin{aligned} 5 \times 2^{x} & = 240 \\ 2^{x} & = 48 \end{aligned}

Pour résoudre cette équation, on passe par un logarithme.

2^{x} = 48

équivaut à

\log_{2} (48) = x

Et l'équation est résolue ! La valeur exacte de la solution est

x = \log_{2} (48)

48

n'est pas une puissance rationnelle de

2

, donc pour calculer une valeur approchée de

{log}_{2} (48)

on utilise la formule

{log}_{2} (48) = log (48) / log (2)

et la calculatrice.

\begin{aligned} x & = \log_{2} (48) \\ = \frac{\log (48)}{\log (2)} \\ \approx 5,585 \end{aligned}

La valeur approchée au millième de la solution est

x \approx 5,585

1) Résoudre l'équation $2 \times 6^{x} = 236$ ‍.

2) Résoudre $5 \times 3^{t} = 20$ ‍.
Arrondir le résultat au millième.

t =

3) Résoudre l'équation $6 \times e^{y} = 300$ ‍.
Arrondir le résultat au millième.

y =

Comment résoudre l'équation

6 \times 10^{2 x} = 48 ?

On isole la puissance en divisant les deux membres par

6

\begin{aligned} 6 \times 10^{2 x} & = 48 \\ 10^{2 x} & = 8 \end{aligned}

On passe par le logarithme :

\begin{aligned} \log_{10} (8) & = 2 x \end{aligned}

On divise les deux membres par

2

x = \frac{\log_{10} (8)}{2}

C'est la valeur exacte de la solution. Pour trouver sa valeur approchée au millième, on utilise la calculatrice.

\begin{aligned} x & = \frac{\log_{10} (8)}{2} \\ = \frac{\log (8)}{2} & \log_{10} (x) = \log (x) \\ \approx 0,452 \end{aligned}

4) La solution de l'équation $3 \times 10^{4 t} = 522$ ‍ est :

5) Résoudre $4 \times 5^{2 x} = 300$ ‍.
Arrondir le résultat au millième.

x =

6) Résoudre l'équation $- 2 \times 3^{0, 2 z} = - 400$ ‍.
Arrondir le résultat au millième.

z =

7) Les solutions de l'équation $(2^{x} - 3) (2^{x} - 4) = 0$ ‍ sont :