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6e année secondaire - 4h
Cours : 6e année secondaire - 4h > Chapitre 11
Leçon 1: Somme et différence de variables aléatoiresSomme ou différence de variables aléatoires
Effet sur l'espérance, la variance et l'écart-type
On peut définir une nouvelle variable aléatoire en additionnant ou en soustrayant deux (ou plusieurs) variables aléatoires. Connaissant les espérances et les écarts-types de ces variables, on peut alors en déduire l'espérance et l'écart-type de la variable aléatoire somme ou différence.
L'espérance de la variable aléatoire somme (différence) est la somme (différence) des espérances des variables. La variance de la variable aléatoire somme (différence) est la somme des variances de ces variables à condition que ces variables soient indépendantes.
| Espérance | Variance | |
|---|---|---|
| Somme : T, equals, X, plus, Y | mu, start subscript, T, end subscript, equals, mu, start subscript, X, end subscript, plus, mu, start subscript, Y, end subscript | sigma, start subscript, T, end subscript, squared, equals, sigma, start subscript, X, end subscript, squared, plus, sigma, start subscript, Y, end subscript, squared |
| Différence : D, equals, X, minus, Y | mu, start subscript, D, end subscript, equals, mu, start subscript, X, end subscript, minus, mu, start subscript, Y, end subscript | sigma, start subscript, D, end subscript, squared, equals, sigma, start subscript, X, end subscript, squared, plus, sigma, start subscript, Y, end subscript, squared |
Ce qu'il faut savoir concernant la variance :
- S'assurer que les variables aléatoires sont indépendantes ou que l'on peut raisonnablement le supposer.
- On additionne toujours les variances même dans le cas d'une variable aléatoire différence.
- On calcule ensuite l'écart-type de la variable somme ou différence en prenant la racine carrée de la somme des variances.
Exemple 1 : Établir l’indépendance
Pour calculer la variance de la variable aléatoire somme ou différence de deux variables aléatoires, il faut savoir ou raisonnablement supposer que ces deux variables sont indépendantes.
Exemple 2 : Notes au test SAT
Environ 1,7 millions d’élèves américains ont passé le SAT en 2015. Chaque élève a obtenu une note en lecture et une note en mathématiques.
On donne les statistiques du test SAT en 2015 :
| Matière | Moyenne | Écart-type |
|---|---|---|
| Lecture | mu, start subscript, L, end subscript, equals, 495 | sigma, start subscript, L, end subscript, equals, 116 |
| Mathématiques | mu, start subscript, M, end subscript, equals, 511 | sigma, start subscript, M, end subscript, equals, 120 |
| Total | mu, start subscript, T, end subscript, equals, start text, question mark, end text | sigma, start subscript, T, end subscript, equals, start text, question mark, end text |
Supposons que l'on choisit aléatoirement un élève parmi la population des élèves ayant passé le SAT en 2015.
Exemple 3 : Contrôle d'un produit
La conformité d'un produit est réalisé par 4 contrôleurs qualités successivement. L'espérance du temps nécessaire à chaque contrôleur pour inspecter le produit est de 30 secondes et l'écart-type de ce temps est de 6 secondes. De plus, le temps nécessaire à un contrôleur pour inspecter le produit ne dépend pas du temps nécessaire à un autre contrôleur pour inspecter le produit.
On note T le temps nécessaire aux 4 contrôleurs pour inspecter un produit choisi aléatoirement.
Exemple 4 : Différence de tailles
Un sociologue a mené une enquête auprès d'un échantillon aléatoire de militaires dans un pays afin d'étudier la différence de taille entre les hommes et les femmes. Il a obtenu les résultats suivants :
Dans cet échantillon, on choisit aléatoirement un homme et une femme et on étudie la différence entre leurs tailles. On note H la variable aléatoire égale à la taille de l'homme et F la variable aléatoire égale à la taille de la femme. D est la variable aléatoire "différence de taille" : D, equals, H, minus, F.
| Moyenne | Écart-type | |
|---|---|---|
| Homme | mu, start subscript, H, end subscript, equals, 178, start text, c, m, end text | sigma, start subscript, H, end subscript, equals, 7, start text, c, m, end text |
| Femme | mu, start subscript, F, end subscript, equals, 164, start text, c, m, end text | sigma, start subscript, F, end subscript, equals, 6, start text, c, m, end text |
| Difference | mu, start subscript, D, end subscript, equals, start text, question mark, end text | sigma, start subscript, D, end subscript, equals, start text, question mark, end text |
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