Règle de l’Hospital dans le cas d'une fonction exponentielle

alors dans cette vidéo je voudrais qu'on essaye de calculer cette limite donc effectivement cette limite elle et elle semble un peu compliqué pas facile à aborder comme ça c'est pour ça que j'aimerais bien que tu mettes la vidéo sur pause etc tu réfléchisses de ton côté à ce que tu peux éventuellement de faire et ensuite on verra ça ensemble alors en espérant que tu ai réfléchi un peu de ton côté que tu déjà quelques idées on va essayer d'aborder ce problème alors évidemment la première chose qu'on peut faire c'est regarder les limites de ici on a une fonction qui est composé de plusieurs éléments et on peut regarder les limites de chacun des éléments par exemple on peut regarder quelle est la limite de cygnus x la limite de cygnus x quand x tend vers zéro plus en fait cette fonction-là sinus et tout à fait défini en x égal zéro donc la limite ses sinus 2 0 qui est égal à zéro et puis la deuxième composante qui intervient celle exposants 1 sur l'ogc à riscle 2x alors la limite quand x tend vers zéro plus 2 1 sur logarithme de x bien celle inverse de la limite de logarithmes 2x quand x tend vers zéro plus or quand x tend vers zéro plus la limite de logarithmes 2x donc pour ça qu'on prend une limite à 0 plus et pas en zéro c'est parce que ici le logarithme 2 x n'est pas défini six est négatif donc on est obligé de prendre des valeurs positives donc ici quand x tend vers zéro + loca rythme de x temps vers moins l'infini donc un sur logarithme 2x va tendre à 0 sa s'attend à 0 on peut même dire que ça tend vers zéro mois alors ça c'est pas obligé de noter je pense pas que ça sera utile mais comme je le sais je l'écris est donc finalement notre expression qui est là et bien on peut supposer qu'elle tend vers zéro puissance 0 ça c'est ce qu'on peut se dire puisque ce terme là temps à 0 il expose en temps un verre à zéro donc l'expression elle même temps à 0 puissance 0 alors là il faut faire attention parce que c'est pas très fréquent de rencontrer ça que tu pourrais croire que ça ça fait 0 0 puissance 0 tu pourrais croire que ça fait zéro il ya en fait ça fait partie des choses assez étrange qui reste en mathématiques on n'imagine pas qu'ils restent en mathématiques c'est qu'en fait cette expression la zéro puissance 0 tout le monde n'est pas d'accord sur la valeur qu'il faut lui attribuer si tu considères que c'est le facteur 0 que tu multiplies un certain nombre de fois par lui même tu devrais trouver que ça fait zéro mais d'autre part on sait que n'importe quel nombre élevé à la puissance 0 est égal à 1 donc si on voit les choses comme ça ça ça devrait être égal à re voilà tout ça pour dire que finalement cette expression là tu as ce qu'on a obtenu en regardant les limites de chaque composant de notre fonction bien c'est pas une réponse très satisfaisante puisque en fait on sera pas tous d'accord là dessus alors là tu vois on arrive sur une forme qui est un peu étrange qu'on n'arrive pas à bien déterminer et peut-être que dans ta tête ça te ramène à ce qu'on appelle des formes indéterminée et du coup il est possible que cette phase penser à la règle de l'hôpital qui permet d'aborder des formes à déterminer alors la règle de l'hôpital de pâtes l'a rappelé ici si tu t'en souviens plus il faut que tu ailles revoir les vidéos sur la khan academy ou que tu réétudie ça donc la règle de l'hôpital ce qui est important à retenir et bien c'est qu'elle permet dans certains cas de traiter des formes déterminées de ce type là 0 / 0 ou bien l'infini plus l'infini sur plus l'infini ou bien moins l'infini sur moi l'infini alors c'est effectivement c'est pas directement la forme qu'on obtient ici donc c'est pas directement une règle qu'on va pouvoir appliquer dans notre cas mais c'est quand même pas mal d'avoir pensé à cette règle là puisque finalement c'est celle là qui va nous sauver si on peut dire et pour l'appliquer en fait on va devoir penser à quelque chose d'autre alors il ya ici on a une fonction qui est quelque chose élevé à la puissance une fonction et dans ce cas là c'est quand même assez fréquent que ce soit utile de prendre le logarithme alors je vais faire ça je vais prendre le logarithme de cette fonction-là donc ce que je vais faire c'est que bon pour simplifier je vais l'appeler f 2 x cette expression donc f2 xc cygnus x élevé à la puissance 1 / logarithme de x et maintenant je vais prendre le logarithme de cette fonction f logarithme naturel donc le logarithme naturel de f2 x et bien c'est donc le logarithme de toute cette expression là et on sait que le logarithme à la propriété de faire dire des cendres l'exposant et donc dans notre cas ça va donner sa 1 / logarithme 2 x x logarithme de cygnus x alors qu'est ce qui se passe maintenant on a donc logarithme de cygnus x / logarithme 2x je vais leur écrire comme ça logarithme de cygnus x / logarithme de x alors quand on prend le logarithme d'une quantité il faut faire attention aux valeurs possibles en fait ici on a donc logarithme de cygnus x donc il faut que signifie que ce soit positif mais pour nous c'est pas gênant puisque on va regarder les valeurs qui sont légèrement supérieures à 0 et pour ces valeurs là sinus 2x est positif on aurait pu le dire tout à l'heure la limite de cygnus x quand x tend vers zéro plus c'est zéro plus donc on n'a pas de problème de définition ni ici ni pour le numérateur alors qu'est ce qui se passe sur le plan des limites de cette fonction là donc c'est une autre fonction que je peux appeler g2x quelle est la limite quand x tend vers zéro + 2 g2x alors sinus x tend vers zéro plus on a dit donc look arythm de cygnus x d'anvers moins l'infini tout le numérateur ici tant vers moins l'infini et puis logarithme 2 x temps également vers moins l'infini donc là ici quand on essaie de calculer la limite de cette fonction j'ai donc qu'ils aient logarithme de notre expression de départ eh bien on tombe sur une forme à déterminer qui est alors je l'écris comme ça c'est vraiment pour se rappeler moins l'infini sur moi l'infini et donc c'est une forme à déterminer c'est celle là donc tu vois qu'on a bien fait de transformer cette forme bizarre 0 puissance 0 qu'on avait obtenu d'un regardant directement les limites et bien finalement en prenant le logarithme de notre fonction on l'a transformée en une vraie forme déterminée qui est abordable par la règle de l'hôpital alors du coup je vais me servir de ça et je vais appliquer la règle de l'hôpital et la règle de l'hôpital elle me dit que la limite d'un quotient de deux fonctions en un point donné eh bien c'est la limite du quotient des dérivés donc ici ça veut dire que la limite quand x tend vers zéro + 2 g2x eh bien c'est la limite quand x tend vers zéro plus de la dérive et de logarithmes de cygnus x je vais l'écrire comme ça la dérive et de logarithmes de cygnus x sur la dérive et de logarithmes de x je l'écris comme ça les dérivés donc ça va me donner ici limites quand x tend vers zéro en plus de cette dérive est là alors ça ça me donne caussinus x / cygnus x dérivés d'une fonction composer et puis vos dénominateur la dérivée de la fonction logarithme c1 sur x voilà donc là je peut réécrire ça comme ça c'est la limite quand x tend vers zéro plus 2 x x caussinus x sur sinus x alors là c'est pareil c'est pas forcément évident de voir comment est-ce qu'on peut traiter ça et ici je pense que ce qu'on peut faire c'est récré ça comme le un produit de limites on sait que la limite d'un produit de deux fonctions c'est le produit des limites de ses fonctions alors je vais et réécrire ça ici comme ça donc ça me donne limites quand x tend vers zéro + 2 ii x6 no 6 fois limites quand x tend vers zéro plus 2 ce qui me reste est donc caussinus 6 alors ça c'est al parce que ici caussinus x7 limites la limite de cosinus x quand x temps vers zéro plus ça c'est un simplement puisque c'est caussinus 2 0 qui est égal à 1 donc ça simplifie déjà un petit peu et maintenant il faut qu'on arrive à calculer la limite de x / cygnus x quand x d'anvers zéro plus alors ici évidemment c'est pas évident parce que j'ai une forme à déterminer zéro sur 0 et ça c'est une forme à déterminer qu'on peut aborder avec la règle de l'hôpital donc c'est ce que je vais faire je vais appliquer la règle de l'hôpital pour calculer la limite quand x tend vers zéro + 2 x / cygnus x et donc c'est la limite quand x tend vers zéro + du quotient des dérivés donc la dérive et 2x c1 et la dérive et de cygnus x et caussinus x donc finalement on trouve très facilement cette limite là puisque caussinus 2x quand x tend vers zéro plus en fait la limite c'est caussinus 2 0 qui est égal à 1 donc toute cette limite la c1 sur 1 c'est à dire voilà donc ici cette limite là c'est un et là on est presque au bout de nos peines on a réussi à déterminer la limite quand x tend vers zéro plus de cette fonction g qui est égal à 1 c'est un x 1 donc cette limite là la limite quand x tend vers zéro + 2 g2x c1 alors j'ai dit qu'on était presque au bout de nos peines c'est vrai mais pas complètement parce que nous on cherchait pas cette limite on cherchait la limite de f2 x mais bon là on va appliquer quelque chose d'assez simple pour trouver la limite quand x tend vers zéro + 2 f 2 x et bien f 2 x en fait c'est eux élevés à la puissance g2x puisque la fonction logarithme et la fonction exponentielle sont réciproques l'une de l'autre on peut écrire ça comme ça et donc la limite quand x tend vers zéro et bien c'est le nombre eux élevés à la puissance la limite de g peu élevé à la puissance limites quand x tend vers zéro + 2 g2x donc c'est eux élevés à la puissance 1 donc c'est eux voilà on est arrivé à bout au bout de ce problème tu vois que ce théorème de l'hôpital et cette règle de l'hôpital est vraiment très importante elle permet d'aborder des tas de calcul de limites assez difficile comme celui-ci tu vois qu'on peut même l'appliquer parfois plusieurs fois de suite