Les foyers d'une ellipse

Si $M$‍ est un point d'une ellipse et si $\text{F}$‍ et ${\text{F}}^{\prime }$‍ sont les $\text{foyers}$‍ de cette ellipse, alors la somme de la distance du point $\text{M}$‍ au point $\text{F}$‍ et de celle du point $\text{M}$‍ au point ${\text{F}}^{\prime }$‍, $\text{MF+MF’}$‍, est constante. $\text{F}$‍ et ${\text{F}}^{\prime }$‍ sont sur le $\text{grand axe}$‍ de l'ellipse.

La longueur $p$‍ du demi grand axe, la longueur $q$‍ du demi petit axe et la distance $c$‍ entre le centre de l'ellipse et l'un des foyers sont liés par la relation :

Les foyers sont sur le grand axe de l'ellipse et chacun d'eux est à la distance $c$‍ du centre. Si on connaît les coordonnées du centre de l'ellipse et les longueurs $p$‍ et $q$‍ des demi axes de l'ellipse, on calcule $c$‍ en utilisant la relation $c^2=p^2-q^2$‍, et on peut en déduire les coordonnées des foyers. Voici un exemple :

La longueur du demi grand axe est $5$‍ et celle du demi petit axe est $4$‍. Donc $p=5$‍ et $q=4$‍.

Le grand axe est parallèle à l'axe des $x$‍, donc les foyers ont la même ordonnée que le centre de l'ellipse. Les coordonnées de ce centre sont $(-4;3)$‍. La distance entre le centre et l'un des foyers est $3$‍. On en déduit que les coordonnées des foyers sont $(-4\pm 3,3)$‍, c'est à dire $(-7;3)$‍ et $(-1;3)$‍.