Le théorème fondamental de l'analyse

Rappel du théorème et de son corollaire.

Si $f$‍ est une fonction continue sur un intervalle $[a;b]$‍, on appelle $F$‍ la fonction qui à tout $x$‍ $\in$‍ $[a;b]$‍ fait correspondre l'aire du domaine compris entre la courbe représentative de $f$‍ et l'axe des abscisses sur l'intervalle $[a;x]$‍ :

Le théorème établit que la dérivée de$F$‍ est $f$‍, autrement dit que $F$‍ est une primitive de $f$‍. Donc, il établit que la dérivation et l'intégration, sont réciproques l'une de l'autre et que pour calculer une aire sous la courbe représentative d'une fonction, on peut utiliser une primitive de cette fonction.

Le corollaire établit que si $f$‍ est une fonction continue sur un intervalle $[a;b]$‍ et $F$‍ une primitive de $f$‍ sur $[a;b]$‍, alors l'aire du domaine compris entre $C_f$‍ et l'axe des abscisses sur l'intervalle $[a;b]$‍ est égale à $F(b)-F(a)$‍.

Nous pouvons utiliser le théorème pour des fonctions plus complexes. On veut déterminer $({\displaystyle {\int }_0^{x^3}\sin (t)dt{)}^{\prime }}$‍.

Soit $F$‍ la fonction définie par ${\displaystyle F(x)={\int }_0^x\sin (t)dt}$‍. D'après le théorème fondamental du calcul intégral $F^{\prime }(x)=\sin (x)$‍.

Donc ${\displaystyle {\int }_0^{x^3}\sin (t)dt=F(x^3)}$‍ et $({\displaystyle {\int }_0^{x^3}\sin (t)dt{)}^{\prime }=(F(x^3){)}^{\prime }}$‍. On applique ensuite la formule de dérivation d'une fonction composée :