La méthode des rectangles et la notation sigma

bien alors voilà ce que nous avons vu dans la dernière vidéo on avait une courbe d'une fonction connu et on a de trouver une valeur approché de l'air sous la courbe en divisant l'air sous la courbe en 4 rectangles de même largeur et en additionnant les airs de ces quatre heures et angles alors à faire à peu près la même chose pour dans un cas beaucoup mieux à se placer dans un cas beaucoup plus général dans lequel on va continuer on va considérer n'importe quelle fonction et n'importe quel nombre de rectangles fin n'importe quelle fonction suffisamment agréable voilà donc je vais tracer un repère un repère qui doit être orthonormé s'ils repèrent et porte normes et on va pas pouvoir parler d'air sylla l'unité horizontal limité verticales sont pas les mêmes voilà donc je trace dans le repère orthonormé une courbe de la fonction disons y est ghallef 2x je me passe vraiment dans un cas général et la borne de gauche cx et galas et on va dire que l'air va aller jusqu'à x et galbées et là où tu vois j'ai des limites et j'ai des limites et lunaire entre la courbe l axe des abscisses que j'aimerais approché par une formule et je vais diviser pour trouver cette valeur approché je vais divisée comme j'avais épuisé leurs précédentes en 4 rectangles je vais divisé en hand rectangle l'afcn rectangle je vais les construire deux manières comme gelé comme j'avais fait pour les rectangles précédemment donc je me base sur le point de adam 6 ae2d d'ordonner f2 à et je trace un rectangle et je précise évidemment tous les rectangles devront avoir la même largeur donc voilà le rectangle que je par exemple que je colorie en bleu ciel qui appelle le rectangle le numéro un par commodité je vais run ver nommé le à je vais appeler à x 0 voilà le à je veux lui donner un autre nom je l'appelle x 0 tu as recours pourquoi bientôt parce que en fait on va on va essayer d'harmoniser les noms qu'on va donner aux au point aux abscisse des extrémités du rectangle par exemple le point ici on va commencer le deuxième rectangle je vais l'appeler x1 et x2 pour celui d'après et c'est donc 2 x 1 1 là je considère le point d'ordonner x 1 f 2 x 1 que voici et à partir de ce point je trace un deuxième rectangle de même largeur que le premier à leur rectangle numéro deux a que je fais en bordeaux par exemple faire de n'importe quelle couleur je prends des codes couleurs pour que ce soit plus clair pour toi voilà et là j'arrive jusqu'au point x2 qui va être le point de départ de mon troisième rectangle et tu vois que si on continue comme ça on va recouvrir tout l'air sous la courbe est la somme des airs des rectangles va pas être très très éloignées de l'air sous la courbe qu'on cherche et donc voilà le troisième rectangle qui va arriver jusque x3 et puis on va continuer comme ceux ci on veut une rectangle et voilà le je vais continuer je vais faire des points de suspension je continue comme ça jusqu'au dernier rectangle le rectangle n a que je dessine ici en orange et le point ici ça va être quoi le point de départ du rectangle 3cx 2 le point de rêve départ du rectangle e2c x1 le point de départ du rectangle ou un cx 06 je suis cette logique là le point de départ du rectangle haine ça va être x n voisins voilà et donc voilà ma subdivision n rectangle de largeur égale toute l'idée c'est que la largeur de rectangles la largeur de tous ces rectangles soit ne soit exactement la même et cette largeur je vais lui donner un nombre lui donner le même nom qu'auparavant je vais l'appeler delta x1 delta c'est une c'est une lettre quand on la voit en mathématiques on pense à différents centres de choses et c'est bien la différence entre entre deux noms entre 2 x consécutif à deltaïques ce qu'est ce que c'est bon ça ça s'exprime facilement deltaïques ce jeu prend toute la distance totale entre béa qui est b - hasard et je la divise par le nombre de rectangles que j'ai égéenne rectangle donc je divise par n 1 ici dans ce cas-là delta xcb - à suresnes un jeu que je te dis ça juste juste pour l'info c'est pas quelque chose dont on va servir par la suite et donc j'ai une suite de poing x 0 x1 x2 et cetera où mon coin x 0 c à mon coin et vif un cx zéro + delta x puisque l'écart entre les deux c'est delta x1 x2 cx1 plus delta x et caetera et caetera et caetera et le point x n le dernier bain cxl -1 plus delta x ce qui te fait comprendre que quand on se trouve le point xn dans le point c'est en fait le point b 1b et gallic sénégal ics cède -1 plus delta x chaque x n est égal à celui d'avant plus delta x puisque deltaïques c'est l'écart entre 2 x consécutif bien et bien maintenant essayons d'approché l'ère de la courbe de la manière exactement dont on avait procédé dernièrement l'ère de la courbe ah ben c'est à peu près égale à la somme de toutes les aires de tous ces rectangles dont je vais additionner l'ère du rectangle numéro un avec l'air du rectangle numéro deux et avec l'air du rectangle numéro trois et ainsi de suite là point de suspension jusqu'à additionnées avec l'air du rectangle n a jadis yonne toutes les aires des rectangles et j'obtiens une valeur approché de l'air sous la courbe est donc clair de chaque rectangle c'est longueur x largeur la longueur du premier rectangle la hauteur du premier rectangle cf2 à on voit plus tôt m f2f de l'x 0 comme ça on adore on harmonise les notations j'aimerais j'aime bien que toutes les tous les éléments que je vais additionner se ressemblent donc je m f 2 x 0 x delta x1 longueur x largeur de ce rectangle bleu ensuite vint le rectangle numéro 2 ben c'est sa hauteur sadi rêve de x1 fois sa largeur delta x le rectangle 3 c'est la hauteur f ii x2 fois la largeur deltaïques c'est toujours la même largeur ça va continuer comme ça et le rectangle rennes sa hauteur 1 regarde bien sûr le dessin cf 2 x n - 1 cf de xn voisins et sa largeur va y a pas de problème c'est toujours la même c'est delta x voilà hélas j'obtiens une somme j'ai une formule générale avec une somme de haine terne qui me donne à peu près la valeur durée de l'air sous la courbe est bon cette formule ces deux formules générales comme on en aura besoin plus tard je vais la réécrire en utilisant la notation sigma 1 c'est pas très claire du 2 de mettre des sommes avec des points de suspension donc je vais réécrire cette somme en utilisant en utilisant la notation sigma et donc j'ai besoin d'un paramètre i qui va aller 2-1 jusqu'à haine qui va représenter la le numéro d'ordre de mon rectangle y égal 1 pour le rectangle numéro un jusqu'à illégal n pour le rectangle haine et je vais additionner quoi même pour le rectangle numéro un je prends un f2 x 0 pour le rectangle numéro 2 je prends avec 2 x 1 donc à chaque fois je prends rêve de x y moins un et que je multiplie par cette même largeur delta x et à j'obtiens une formule générale d'approximations parraine rectangle de l'air sous la courbe qui est la somme pourri égal à 1 à n2f 2x moins un deltaïques c'est sur cette formule que l'on se base pour ensuite trouver une formule qui nous donnera par la suite exactement l'ère de la courbe si je prends un et aux hasards af2i - f2 xxi - 1 c'est le rectangle numéro i bat f ii x6 - et quelque part par là le rectangle numéro il est quelque part au milieu par là et sa largeur c'est delta x vous voyez j'additionne tous les rectangles de cette forme là du premier jusqu'au dernier pour obtenir la valeur approchés de leurs sous la courbe et ça nous donne une formule qui va nous aider à trouver à petit à petit à avoir beaucoup plus de précision et à avoir exactement l'air sous la courbe c'est exactement ce que nous avions fait précédemment avec une égale 4