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Transcription de la vidéo

nous allons voir dans cette vidéo les mathématiques appliquées aux crédits hypothécaires il s'agit donc d'une vidéo de mathématiques plutôt que de finances alors considérons que je fasse un crédit hypothécaire c'est d'un montant de deux cent mille euros je vais en train tu es sur une maturité de 30 ans c'est la durée de mon prêt que je vais rembourser chaque mois un petit peu et donc n le nombre de mensualités sera égal à 360 moi et mon crédit je vais à la banque et le taux d'intérêt que me propose le banquier est de 6,10 7% par an et à c'est à dire et c'est par hasard si je convertis ça en taux mensuel au taux d'intérêt que je vais noté inégal 0,5 pour cent par mois par mois et bien si je vais à la banque et je demande à mes ban ki mon banquier va prendre son ordinateur et dire un monsieur pour vous ce crédit là vous allez devoir rembourser le paiement votre mensualité l'épaulement mensuels seront de 1200 euros par mois pendant donc 360 - alors tout le sujet de la vidéo c'est de dire mais d'où vient ce nombre comment comment calculer ce nombre et nous allons voir comment grâce aux mathématiques on va pouvoir calculer ce nombre si je considère la situation après un mois de mon crédit quelle est la situation alors après un mois je vais devoir rembourser les monts le capital que j'ai emprunté à la base donc ça ce sont les deux cent mille euros x 1c pour le capital +0 5% d'accord ça c'est le montant que je dois rembourser après un mois mais après un mois j'aurai effectué également mon premier remboursement de 1200 euros et donc ça c'est la situation après le à la fin du mois 1 que se passe-t-il à la fin du mois 2 et bien en fait tout ce montant que je dois encore en bourse et je vais dire bon ben en fait là je dois rembourser ce montant là et les intérêts qu'il y a sur ce montant maintenant je vais le noter comme cela et j'ai effectué un second paiement mensuel de 1200 moins 1200 euros et donc ça ça va être la situation à la fin du mois deux en termes du montant que je dois encore remboursé et donc je peux faire ça pour le moins trois quatre cinq jusque 360 et après 360 mois 360 moi j'aurai donc rembourser pendant 360 non à 1200 euros et bien j'aurai de cette manière en bourse est à la fois le montant de mon crédit et tous les intérêts ce qui veut dire qu après 360 moi il restera à payer 0 j'aurais retour en bourse est d'accord alors ici on sait donc le banc qui nous a dit que c'était bien à 1200 euros par mois mais ce qui nous intéresse comme on dit dans cette vidéo c'est de dire comment calculer ce montant paix par mois alors on va un peu réécrire l'exemple mais de manière plus abstraite en disant me voilà quelle est la situation après le mois 1 eh bien j'ai mon capital le capital ou le montant du crédit si on veut un plus les intérêts qui ça c'est le montant que je dois à la fin du premier mois - le premier paiement que j'ai fait p alors comme on avait dit à la fin du mois suivant et bien ce montant là les intérêts s'accumulent sur ce montant à payer donc ça c'est le montant après le mois 2 - à nouveau le montant paix que je paye donc ça c'est la situation après le moindre est en fait je peux rajouter des parenthèses pour dire que se passe-t-il après le mois 3 je vais de nouveau avoir le même processus si on veut ou le montant qui reste à payer et bien je veux avoir les intérêts qui s'accumulent - le paiement de ce mois là et caetera et caetera et donc ici je veux avoir aidé moi où je vais rembourser mon crédit ce qui veut dire qu'après les haines mois de la même manière et bien si je rembourse bien je devrais arriver à zéro et de la même manière on crédit sera remboursée alors ce qu'on voit c'est qu'on a une équation en fait avec une seule inconnue donc on a une à une inconnue qui est paix et on a une équation le problème c'est que cette équation extrêmement compliquée puisque cette équation est la haine parenthèses si on veut alors on va voir comment les mathématiques vont pouvoir nous aider à résoudre ça de manière plus élégante alors ce que nous allons faire nous allons commencer par quelque chose de très simple supposons que n est égal à 1 c'est à dire je fais un crédit hypothécaire et en fait je rembourse tout et les intérêts un mois après donc comment est-ce qu'on va écrire ça on va voir après un mois quelle va être la situation mais on assez fois un plus si ça c'est le montant qu'on doit rembourser - le paiement qu'on fait et on dit qu'en fait tout est remboursée après un mois et donc le montant nom de mon rendre de mon paiement paix va servir à tout rembourser en une fois donc ça on va pouvoir réécrire de la manière suivante c'est fois un plus et galp et ou encore tout ça est équivalent et vous allez voir pourquoi vais comprendre dans un instant pourquoi on réécrit ça comme ça c est égale ap / un plus et voilà alors supposons maintenant que n est égal à 2 qu'est ce qu'on avait dit donc quelle va être la situation donc ça veut dire je rembourse mon crédit après deux mois donc quelle est la situation à la fin du mois 1 à la fin du mois 1 on va voir c'est ça c'est le montant à rembourser - mon premier paiement il reste ce montant là à la fin du mois un donc ce montant un plus si c'est ce qui me reste à rembourser et je fais un deuxième paiement de manière à solder mon crédit alors comment je peux réécrire cette équation je vais créer écrire cette équation de la manière suivante c'est fois un plus is c'est la partie gauche que l'on voit va être égal à p je passe le p de l'autre côté je divise bas un plus si donc c'est ce que ça fait ça fait peu sur un plus y et il me reste alors le premier p plus p voilà et si je divise les deux termes par un plus si je vais retrouver tiens tiens c'est d'un côté paix / un plus i o car est plus p / 1 plus y est donc ça c'était évidemment ce que vous montrez regardez bien le lien au lard et le lien qui peut y avoir entre les deux équations alors l'idée évidemment cette sphère avec n égale trois là et pour une question de temps je joue on va pas faire les détails le détail des calculs mais je vous encourage à le faire comme exercice et vous vous pourriez donc après quelques calculs un petit peu fastidieux je l'admets vous allez obtenir ces sera est égale ap / 1 plus y occupe plus p / un plus i au carré plus pénalisées par un plus mis d'accord est en fait ce qu'on ainsi vous souvenez des vidéos sur les valeurs actuelles le montant du crédit sera que je reçois en fait je vais rembourser va faire tous des paiements et la valeur actuelle de tous les paiements que je vais faire correspond au montant de crédits que je reçois aujourd'hui donc ça c'est logique alors si je généralise avec haine dans le cas de haine avec elle nous avons donc c'est sera égal à et fois je l'écris de cette manière là un sur un plus si +1 sur un plus si au carré +1 sur un plus y occupe [Musique] plus un sur trois petits points évidemment pardon il faisait pas un plus si exposants m est ce cette somme là est ce qu'on appelle une suite géométriques nous y voilà alors cette suite géométriques on va l'écrire de la manière suivante avec un peu un formalisme un peu des mathématiques on va dire que j est égal à 1 2 1 à n est que c'est la somme de tous ces termes de 1 plus six exposants j ai cette somme on va là des nominés dont va l'écrire est-ce pour la facilité de l'exercice alors pour la facilité de l'exercice on va également définir la variable air air et on va dire que air est égal à 1 sur 1 1 plus y voilà d'accord alors du coup on peut réécrire la suite est ce de la manière suivante s est égal ar c'est à dire que le premier terme on a ici r + r carré plus hercules plus trois petits points jusque est reine et c'est maintenant qu'on va utiliser le truc pour qu'on simplifier la vie vous allez voir ce qu'est ce que je fais je fais maintenant la suite s je vais là x r alors que se passe-t-il j'obtiens air carré ère fois nrk reér carré fois r ça devait être qu un plus r4 ta ta ta ta ta plus est reine et le dernier terme va évidemment être rn +1 ce que je fais ensuite je vais faire la différence de ses deux suites c'est à dire je veux avoir s - sr et c'est égal à quoi alors ce qu'on voit la beauté de la chose c'est évidemment ce sale astuce c'est que quasiment tous les termes se simplifient et ceux qui restent finalement du côté droit de l'équation ce sera juste r - aer n + 1 ce qui permet maintenant de réécrire puisqu'on a à gauche s soit 1 - est un - r pardon est égal à r - aer n + 1 et donc je e isoler la valeur de s&s c'est ce qu'on avait mis ici est c'est ce que nous nous nous cherchons c'était bien la valeur de est ce parce que s comme on connaissait par exemple dans notre exemple c'était les deux cent mille euros si je peux calculer isolé calculer la valeur de s en fonction de r qui est elle-même fonction de y que l'on connaît eh bien on va pouvoir calculer p alors on va voir l'aca j'étais peut-être un petit peu vite donc on va je vais faire maintenant l'exercice proprement pour isoler le montant paix que l'on cherche donc donc comme je disais nous avons pu isoler calculer la valeur de s est donc comme nous avions tout à l'heure nous avions c était égal ap fois s&s on a calculé sa valeur donc s nous avons vu que s était égal à s était égal à r - m/m +1 si besoin de plus 1 / 1 - r et donc ce qu'on cherchait depuis le début c'est que p va être égale ac / s ou si on prend l'un vers ce sera est égal à ses x 1 - air / rrn exposants enplus voilà alors ce qu'on peut faire comme exercice c'est de vérifier que deux pour terminer la vidéo de regarder avec les données qu'on avait au début donc si vous avez c était égal à 200 mille euros vous vous souvenez on avait dit aussi que y était égal à 0,5 pour cent alors du coup on peut calculer air qui est égal à 1 sur un plus i et ce sera égal à 0,9 9 5 et n est égal à 360 et bien je vous laisse faire les calculs et vous devriez obtenir si vous utilisez si vous faites les calculs correctement et sera égal à en fait 1200 euros ce coin aux arrondis prêt en fonction du nombre d'arrondi comprend quand on fait les calculs on retombe bien sûr un montant de paiement mensuel de 1200 euros