Divisibilité d'un polynôme par un autre

bonjour alors dans cette vidéo fait commencé par revenir sur quelque chose que tu connais déjà qu'est la notion de diviseur alors tu en as certainement très souvent entendu parler on va revenir un petit peu là dessus donc si par exemple je prends le nombre 12 c'est un nombre entier et se demander quels sont les diviseurs de 12 ça revient à se demander par quel nombre entier on peut diviser 12 pour obtenir encore un nombre entier donc si par exemple j'écris 12 / 1 12 / 1 ça fait douze et je peut se voir ça aussi une autre manière je peux très bien me dire que 12 c'est 12 x 1 donc on voit que si on divise 12 parent et bien on obtient 12 qui est un nombre entier donc ça ça veut dire que un c'est un diviseur de 12 et on peut le voir comme ça en fait 12 peut s'écrire comme un x un autre nombre entier alors bien sûr y est 12 à d'autres diviseur puisque on peut aussi écrire par exemple 12 comme 6 x 2 évidemment et ça ça veut dire que si c' est un diviseur de 12 et ça veut dire aussi que 2 est un diviseur de 12 puisque cette relation-là veut aussi dire que 12 / 6 c'est égal à 2 et que 12 / 2 est égal à 6 donc 2 et si ce sont bien des diviseurs de 12 alors il y en a encore d'autres puisqu'on peut aussi écrire 12 comme 4 x 3 voilà 12 4 x 3 c'est la table de multiplication et ça veut dire que 12 / 4 c'est 3 12 / 4 est égal à 3 et 12 / 3 est égal à 4 donc 3 et 4 sont aussi des diviseurs de 12 et si tu cherches tous les diviseurs de 12 en fait là on les a tous l'istc 1 2 3 4 6 et 12 donc tu vois que finalement chercher les diviseurs de doux ça revient à chercher à écrire 12 comme un produit de deux nombres entiers c'est ce qu'on a fait ici donc là pour l'instant ce que j'ai dit c'est que si je prends par exemple le nombre trois ici ce nombre là et bien on peut dire que 3 est un diviseur 3 est un diviseur de 12 de 12 points est un diviseur de 12 puisque 12 / 3 est un nombre entier on peut voir ça aussi dans l'autre sens puisque ça ça veut dire exactement que 12 est divisible est divisible par trois donc ça c'est très important ici on part d'un diviseurs on affirme que c'est un diviseur d'un autre nombre là on part d'un nombre et on dit qu'il est divisible par un autre nombre voilà ça c'est ça concerne les nombres entiers c'est pas des nouveaux c'est pas du tout nouveau pour toi mais est ce qu'on va faire dans cette vidéo c'est étendre cette notion de diviseur et de divisibilité à l'ensemble des polynômes donc à des expressions algébrique qui contiennent des variables alors on va le faire je vais faire un petit peu de place faire monter tout ça on va prendre on va commencer par des mots nomme alors je vais prendre un premier monôme 3 x y voilà c'est un bonhomme qu'est deux variables x et y et puis un coefficient qui est un nombre entier ici trois ça c'est important que ce soit un nombre entier pour nous pour l'instant et puis on va multiplier ce monôme par un autre monôme par exemple celui là - 2 x au carré fois y au cube voilà donc là j'ai un produit 2,2 mono mais je peux calculer ce produit en exprimant plus simplement ça va me donner à lormes ou trois fois moins deux ça fait moins six as et les terres les coefficients ensuite j'ai x x x aux caresses a fait x au cube et puis j'ai y faut y occupe ce qui venons y puissance 4 voilà donc là j'ai effectué ce produit est en fait j'ai donc exprimé ce monôme la moins 6 x aucune voie y puissance 4 comme le produit de deux autres mono est exactement comme ce qu'on a vu revu tout à l'heure dans le cas des nombres entiers et bien on peut très bien dire que ce polynôme la 3 x y est un diviseur de notre polynôme - 6 x au cube fois y puissance 4 et de la même manière on peut dire que le polynôme moins deux dans le mono - 2 x au carré fois y au cube est un autre diviseur est un diviseur aussi de - 6 x au cube fois y puissance 4 et s'extrait cohérent avec ce qu'on vient de revoir sur les nombres entiers puisque en fait si j'écris ce division la moins 6 x au cube fois y puissance 4 / 3 x y 3 x y et bien en fait on peut faire des simplifications qui s'impose donc déjà je vais avoir -6 divisée par 3 ça ça fait moins 2 x occupe / x ça fait x au carré et puis y puissance 4 / y ça fait y puissance 3 donc je un polynôme à coefficient avec un coefficient entier que je divise par un polynôme avec un coefficient entier aussi et j'obtiens un autre polynôme avec un coefficient entier aussi je peux faire exactement le même raisonnement avec le deuxième c'est si je divise - 6 x au cube pour y puissance 4 par - 2x moins 2 x au carré pardon y puissance 3 eh bien ça ça va me donner on peut aller un peu plus vite on insiste / mois de ça fait 3 x occupe / x au carré ça fait x et y puissance 4 / y puissance 3 ça fait y voilà donc finalement exactement comme dans le cas des nombres entiers pour trouver un diviseur de ce bonhomme là on a dû écrire ce mot nomme comme un produit de deux autres mots nomma coefficient entier ça qui est important et comme dans le cas des nombres entiers on peut regarder ça dans l'autre sens dire ça dans l'autre sens c'est à dire qu'on peut très bien dire que moins 6 x ^ ^ 3 x y puissance 4 est divisible est divisible par 3 x y 3 x y et bien sûr ce polynôme là est aussi divisible par - 2 x au carré faut y occupe alors là on a parlé uniquement de mono mais en fait on peut très bien étendre ça à ma porte quel polynôme donc précis pas je vais faire un exemple avec des polynômes si j'écris par exemple x + 3 facteurs de x + 7 voilà ça ce sont deux polynôme avec des coefficients entier le là ici c'est l'éco efficience et 1 et 3 donc ce sont des nombres entiers ici c'est un essai donc ce sont des nombres entiers aussi bien quand je fais ce développement quand j'écris je développe ce produit j'obtiens un autre polynôme qui est celui ci je vais un peu vite on m'a fait des tas de vidéos là dessus sur ce type de développement s'engagent à les regarder donc je vais avoir x au carré + 3 x + 7 x donc plus 10x plus cette fois 3 c'est-à-dire 21 et tu vois que ce polinum que j'obtiens on développe en ce produit eh bien c'était un polynôme qui lui aussi à des coefficients entier 1 10 et 21 ce sont des nombres entiers donc en fait on a un trinôme avec des coefficients entier qu'on peut créer comme un produit de deux binômes avec des coefficients antilles ont en fait ici ce sont des binômes et on peut très bien les considérer comme des polynômes donc on a un polynôme un coefficient entier qu'on écrit comme un produit 2,2 polynôme un coefficient entier dans ce cas là on peut exactement comme tout à leur dire par exemple que le polynôme x + 3 est un diviseur est un diviseur 2 du polynôme x au carré plus 10x plus 21 et on peut aussi dire ça dans l'autre sens c'est à dire que x au carré le polynomics au carré plus 10x plus 21 et bien ce polynôme là il est divisible par le polynôme x + 3 voilà bien sûr ça serait vrai aussi avec x plus cette voie là et finalement la chose la plus importante à retenir c'est que on parle de polinum qui ont tous des coefficients entier et puis on pour trouver un diviseur d'un polynôme il faut arriver en fait à factoriser ce polynôme c'est ce qu'on a fait ici c'est pour ça que c'est très important de savoir factoriser des polynômes et on va faire de très très nombreuses vidéos là dessus