Rembrandt et le nombre d'or

bonjour alors aujourd'hui on va étudier ce tableau qui est un auto portrait de rembrandt qu'il a peint en 1640 alors ce qui va nous intéresser ici c'est qu'en fait tout porte à croire que rembrandt comme d'autres artistes de nombreux autres artistes comme léonard de vinci ou bien salvador dali par exemple et bien à utiliser dans ce tableau un nombre qu'on appelle le nombre d'or alors le nombre d'or c'est un nombre dont j'ai déjà parlé dans d'autres vidéos et c'est un nombre qui est assez fascinant car plusieurs titres il a vraiment quelques propriétés assez fascinant on le retrouve aussi dans de très nombreux très nombreuses formes naturelles donc très de nombreux phénomènes naturels alors ce nombre d'or en général on là je vais te rappeler quelques propriétés de ce nombre d'orbes ont en général on le note par cette lettre grecque fille dès sa valeur c'est alors je vais en écrire ici les premières décimales ses 1,6 un 8 0 3 et ainsi de suite ça continue sans avoir aucune période alors il ya une première propriété qui est arithmétique est assez étonnante de ce nombre c'est que si tu prends un et que tu ajoutes linverse deux filles donc si tu fais un plus un surfi eh bien tu obtiens fille donc ça c'est une propriété arithmétique assez assez rare alors si tu l'as multiplient si tu multiplies les deux membres de cette identité par par fille tu va obtenir fit plus un qui sera égale en fait à fille au carré voilà ça c'est une deuxième propriété assez étonnante aussi un quand on lui ajoute un et bien on trouve le carré de ce nombre alors on peut aussi exprimé ce nombre là sous forme d'une fraction continue en fait fi le nombre fille c'est un plus 1 / fimela au lieu d'écrire un surfi je vais écrire un plus assure fille mais au lieu d'écrire un surfi je vais écrire un plus un surfi mais là aussi au lieu d'écrire un surfi ici je vais écrire un sur un plus 1 / filles et ainsi de suite donc je l'obtiens ce qu'on appelle une fraction continue donc je peux continuer se décrire cette fraction là à l'infini et j'aurai toujours un plus un sur fi ainsi de suite voilà c'est ce qu'on appelle une fraction continue bon et là je te donnait quelques propriétés j'espère qu'elle suffise à te montrer le mystère de ce nombre est mat explique te faire comprendre un peu pourquoi est-ce qu'il a fasciné autant de gens depuis très très longtemps voilà donc ça c'était un petit rappel sur ce nombre d'orbes or le nombre d'arh n'a pas que des propriétés intéressantes mathématiquement des propriétés mathématiques comme celle-ci en fait c'est un nombre qu'on retrouve vraiment très souvent dans la nature et qui intéresse beaucoup les architectes les peintres et d'autres artistes parce qu'en fait c'est ces gens considèrent que ce nombre va donner un peu des proportions harmonieuses en fait ils aident à représenter ce que l'homme ressent comme hbo voilà donc là on va étudier ce tableau et on va voir pourquoi on peut penser que rembrandt a effectivement utilisé ce nombre d'or consciemment pour construire son son tableau sombre son autoportrait alors pour faire ça je vais j'ai en fait j'ai dessiné ce évidemment ce triangle ne fait pas partie du tableau original c'est moi qui les a ajoutés dessus en fait j'ai construit un triangle en disant que en prenant ici et la base de mon triangle donc la longueur bd en fait c'est la largeur du buste en bas du portrait de rembrandt 1 donc c'est la largeur qu'occupe tout le corps en bas du dessin voilà et puis ensuite j'ai tracé deux côtés en suivant partant des extrémités de ma base disons et puis j'ai suivi les épaules un j'ai donc j'ai tracé un premier trait à peu à peu près comme ça ensuite en essayant de suivre les pôles voilà et puis j'ai tracé la même chose de l'autre côté je suis parti du sommet des j'ai suivi la ligne des épaules et je les prolonger jusqu'à intercepté jusqu'à couper l'autre droite que j'avais tracé donc et le point d'intersection voilà c'est le point d'intersection à qui est ici ensuite j'ai regardé les yeux on peut se dire que les yeux c'est la première chose que quelqu'un regarde quand il va regarder cet autoportrait donc c'est une position importante et j'ai tracé une droite parallèle en fait qui passe par les deux yeux et ça donne ça me donne une droite parallèle à la base qui est celle ci voilà la droite p r et donc voilà finalement j'ai dessiné deux triangles un grand triangle la bd est un petit triangle ap air voilà est ce qu'on va voir là dans cette vidéo c'est qu'en fait ces deux triangles les biens sont dans un rapport qui va faire intervenir le nombre d'or si voilà alors ensuite j'ai j'ai tracé la hauteur du triangle ab enfin c'est la hauteur des deux triangles d'ailleurs mais laisse donc c'est la droite issu de hack qui va couper perpendiculairement la droite bd 1 donc j'ai noté c'est le pied de la hauteur et qu le pied de la hauteur dans le triangle la bd pardon et kull pied de la hauteur d'un triangle ap air voilà alors la première chose qui est étonnante c'est que bon j'ai pas pris les mesures mais là je tu il faut que tu me crois sur parole tu peut même le faire toi même si on mesure c'est longueur la longueur cd et la longueur baissé et bien en fait on s'aperçoit que le rapport entre cette longueur la cds alors je vais le faire comme ça cette longueur là et sept longueurs l'a donc le rapport cd surbaissé et bien c'est le même rapport que fille sur un donc en fait ces filles filles / 1 c'est fille donc en fait le rapport cd surbaissé et bien c'est le nombre d'or on trouve exactement le nom enfin exactement non ça dépend des mesures évidemment avec des erreurs de mesure mais on trouve ce rapport la cbc des sur cbc le nombre d'or donc ça déjà quand même ça fait penser que que rome entre effectivement consciemment utiliser ce nombre d'or pour construire son dessin et puis si on est si on n'est pas convaincu on peut aussi utiliser regarder ce qui se passe entre ses longueurs la haca q&a c'est un accu est assez en fait là on se rend compte que la longueur assez sur la longueur à cul bien c'est le rapport fit plus 1 sur 1 donc en fait c'est on peut l'écrire comme ça plus simplement c'est fit plus sain donc quand je calcule le rapport entre cette longueur l' ac et sept longueurs la accus et bien je trouve fille +1 donc dans les deux cas j'ai des rapports de longueur qui font intervenir le nombre d'or donc je pense qu'on peut quand même être convaincu que c'est pas hasard qu effectivement rembrandt avait consciemment utiliser ce nombre alors bon maintenant que j'ai on va se poser un problème on va se demander quel est le rapport des deux surfaces des deux aires de nos deux sites de nos deux triangles ap air et à bd et on va essayer de l'exprimer en terme de ce nombre fillon va voir si on arrive à exprimer ce rapport des deux aires en fonction de notre nombre fit alors les toutes les données en la figure et racé ici est en fait un ski est là tout ça c'est les données du problème tu peux considérer ça comme les données du problème et ce que j'aimerais bien c'est que tu mettes la vidéo sur pause et que tu es chez toi même d'exprimer de trouver une expression de ce rapport alors bon maintenant que tu as réfléchi de ton côté on va essayer de le faire ensemble et en fait on va utiliser ce qu'on sait sur les similitudes entre triangle alors ici on voit que notre notre triangle à b d un angle à et cet angle là donc les une certaine mesure je vais le faire en violet par exemple voilà cet angle-là en a et bien en fait c'est le même angle quand je considère le triangle ap air donc en fait notre grand triangle et notre petit triangle ont un angle de même mesure c'est cet angle-là ans a ensuite ben on peut utiliser tout ce qu'on sait sur les angles correspondant puisque on a ici deux parallèles ces deux droite la droite p r je vais peut-être les faire en bleu la droite p r qui est ici et la droite bd qui hélas sont parallèles donc là on va avoir des configurations avec u2 une séquence qui coupent des parallèles donc on va pouvoir déterminer des angles correspondant en particulier alors il ya cet angle là qui est en b cet angle en b et bien je le retrouve ici ce sont des sommes correspondant donc ils ont même mesure et puis si je regarde de l'autre côté j'ai cet angle là qui étendent et je vais le faire comme ça eh bien on le retrouve ici sont là aussi des angles correspondante puisque là aussi on a une c'est quand qu'ils coupent deux parallèles donc ces deux angles à son correspondant ils ont même mesure voilà alors là on a bien avancé parce que finalement on se retrouve avec un grand triangle à bd avec ses angles la c3 angle là et puis un petit triangle ap air qui a les mêmes angles donc ces deux triangles ap air et à bd ce sont des triangles semblables puisqu'ils ont trois angles correspondant ego 2 à 2,1 alors bon je vais noter cette première conclusion on sait que à bd et alors je vais notées çà dans le bon ordre a donc le sommet b et le sommet paix se correspondent donc j'ai acquis correspond à lui-même b qui correspond à paix et d qui va correspondre à air donc les triangles à bédée ap air sont semblables ça c'est une première chose alors maintenant je vais me souvenir de ça je vais aller exprimer ce rapport entre les 2 ra bd donc l'ère de la bd alors l'air d'un triangle c'est la base soit la hauteur / 2 donc ici la base cbd et la hauteur c'est assez alors du coup l'air de du triangle à bdc 1/2 de la base donc cbcb des pardons fois la hauteur qui est assez donc j'ai un demi de bd sur assez de bd fois à ces pardons et maintenant je vais diviser sa part l'air 2 à p r alors l'ère 2 à p r c'est un demi de la base ball hauteur donc je vais déjà écrire le 1/2 la base cpr donc j'ai un demi de paix air froid la hauteur qui est à cul voilà alors bon il faut qu'on arrive à se débrouiller avec cette expression là donc je vais déjà simplifier les jeux peu simplifié par un demi un diviser tout parent demi donc voilà un demi se simplifier je me retrouve avec bd foie a cessé / p r fois à cul alors assez sûr à cul ça c'est un rapport qu'on connaît un ce rapport là ici je le rapport assez sûr accus et ça je sais que ça fait en fait fi +1 donc ça c'est fit plus sain donc là je vais pouvoir écrire que le rapport entre mes deux heures est égal à bédée / p r x 1 plus fit un plus fils et le rapport assez sûr à cul voilà alors maintenant bon il faut que j'arrive à exprimer le rapport bd sur prb des bd sur p r alors c'est là où je vais devoir utiliser ce que j'ai dit tout à l'heure sur les deux triangles à bd et ap air qui sont des triangles semblables alors qu'est ce que ça veut dire que ab des apn sont semblables enfin qu'est ce que ça veut dire pour nous qui va nous intéresser pour nous aider à exprimer ce rapport bd sur p r alors en fait ce qu'on sait c'est que ces triangles sont semblables donc toutes leurs dimensions sont dans le même rapport leur dimension correspondante vont être dans le même rapport alors parmi ses dimensions là il ya évidemment les côtés donc les rapports entre les côtés correspondants seront tous égaux et puis on peut aussi appliquer sao d'autres dimensions comme par exemple la hauteur or ici la hauteur du triangle à bdc le la longueur assez et la hauteur du triangle à prc de la longueur à q donc ce qu'on sait c'est que comme les triangles sont semblables le rapport entre les deux auteurs va être le même que le rapport entre les côtés correspondant donc nous on connaît ce rapport à ces a assez sûr accuse ces données ici ce rapport assez sûr acuité gala fit plus est ce qu'on peut dire du coup c'est que le rapport bd sur pn qu'on cherche à exprimer et bien en fait c'est exactement le même rapport que le rapport des deux auteurs donc assez sûr accus puisque les triangles sont semblables toutes leurs dimensions sont dans le même rapport et du coup ce rapport là on le connaît on sait que ses filles +1 donc finalement on a terminé pratiquement pas ce qu'on va remplacer ce rapport bd sur p r par fit plus sain et donc on trouve que le rapport entre les rd deux triangles ici c'est un plus fille au carré voilà donc finalement là encore on retrouve un rapport qui fait intervenir le nombre d'or filles on va s'arrêter ici bon je t'engage a continué parce qu'il ya plein de choses que tu peux faire avec toutes ces données qui sont ici par exemple déjà tu peux penser à ce que tu peux faire avec cette expression là puisqu'un plus fillon sait ce que c'est donc ça c'est déjà un exemple de choses que tu peut creuser et puis il ya d'autres pleins d'autres manières de de continuer l'analyse