Existence de la fonction réciproque

Deux fonctions $f$‍ et $g$‍ sont réciproques l'une de l'autre équivaut à : quel que soit $a$‍, si l'image de $a$‍ par la fonction $f$‍ est $b$‍, alors l'image de $b$‍ par la fonction $g$‍ est $a$‍. La notation de la réciproque de $f$‍ est $f^{-1}$‍.

Soit la fonction $h$‍ définie par :

Son diagramme sagittal est :

On examine la relation obtenue si on inverse le sens des flèches.

$2$‍ est en relation avec deux éléments de l'ensemble d'arrivée : $1$‍ et $3$‍. Donc cette relation n'est pas une fonction.

La fonction $h$‍ n'admet pas de réciproque.

De façon générale, une fonction $f$‍ dont l'ensemble de départ est $A$‍ et l'ensemble d'arrivée $B$‍ admet une réciproque si à tout élément de l'ensemble $A$‍ correspond un unique élément de l'ensemble $B$‍, et si tout élément de l'ensemble $B$‍ est l'image d'un unique élément de l'ensemble $A$‍. On dit que $f$‍ est une bijection de $A$‍ sur $B$‍.

Voici un exemple de fonction qui admet une fonction réciproque :

On considère la parabole représentative de la fonction carrée.

Une fonction admet une réciproque si à tout élément de l'ensemble de départ correspond un unique élément de l'ensemble d'arrivée, et si tout élément de l'ensemble d'arrivée est l'image d'un unique élément de l'ensemble de départ.

Mais ce n'est pas le cas de la fonction carré.

La droite d'équation $y=4$‍ a deux points d'intersection avec la parabole. Les abscisses de ces points sont les deux nombres qui ont comme image $4$‍.

En fait, quel que soit $a>0$‍, la droite d'équation $y=a$‍ a deux points d'intersection avec la parabole donc tout réel strictement positif a deux antécédents. La fonction carré n'admet pas de réciproque.

Il n'en est pas de même pour la fonction cube.

Quel que soit $a$‍, la droite d'équation $y=a$‍ a un seul point d'intersection avec la courbe représentative de la fonction cube.

On en déduit que tout réel a un seul antécédent par la fonction cube et que cette fonction admet une réciproque.

C'est ce qu'on appelle parfois le "test de la droite horizontale". Une fonction admet une réciproque si et seulement si sa courbe représentative a un seul point d'intersection avec une parallèle à l'axe des abscisses.