Pourquoi est il nécessaire de préciser "quelque soit a supérieur à 0" dans le cas d'une fonction cube puisqu'une fonction cube admet en entrée et peut renvoyer des valeurs négatives? Est ce juste une erreur de formulation et on dirait plutôt quelque soit a différent de 0? Réf. quote "Quel que soit a>0, la droite d'équation y=a a un seul point d'intersection avec la courbe représentative de la fonction cube."

En effet Johanna, merci pour ta remarque. C'est une coquille, désormais corrigée. Cette intersection entre la fonction cube et la droite y=a est unique, quel que soit a, même pour a=0

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Cours : Algèbre III > Chapitre 1

Leçon 9: Existence d'une fonction réciproque

Existence de la fonction réciproque

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Toutes les fonctions n'admettent pas obligatoirement une fonction réciproque.

Deux fonctions

f

g

sont réciproques l'une de l'autre équivaut à : quel que soit

a

, si l'image de

a

par la fonction

f

est

b

, alors l'image de

b

par la fonction

g

est

a

. La notation de la réciproque de

f

est

f^{- 1}

Toute fonction admet-elle une réciproque ?

Soit la fonction

h

définie par :

$x$ ‍	$1$ ‍	$2$ ‍	$3$ ‍	$4$ ‍
$h (x)$ ‍	$2$ ‍	$1$ ‍	$2$ ‍	$5$ ‍

Son diagramme sagittal est :

On examine la relation obtenue si on inverse le sens des flèches.

2

est en relation avec deux éléments de l'ensemble d'arrivée :

1

3

. Donc cette relation n'est pas une fonction.

La fonction

h

n'admet pas de réciproque.

De façon générale, une fonction

f

dont l'ensemble de départ est

A

et l'ensemble d'arrivée

B

admet une réciproque si à tout élément de l'ensemble

A

correspond un unique élément de l'ensemble

B

, et si tout élément de l'ensemble

B

est l'image d'un unique élément de l'ensemble

A

. On dit que

f

est une bijection de

A

sur

B

Voici un exemple de fonction qui admet une fonction réciproque :

À vous !

f

est la fonction définie par :

$x$ ‍	$- 2$ ‍	$- 1$ ‍	$0$ ‍	$1$ ‍	$2$ ‍
$f (x)$ ‍	$2$ ‍	$1$ ‍	$3$ ‍	$5$ ‍	$6$ ‍

$f$ ‍ admet-elle une réciproque ?

g

est la fonction définie par :

$x$ ‍	$2$ ‍	$5$ ‍	$8$ ‍	$10$ ‍	$19$ ‍
$g (x)$ ‍	$- 2$ ‍	$- 3$ ‍	$- 2$ ‍	$1$ ‍	$6$ ‍

$g$ ‍ admet-elle une réciproque ?

Un dernier exercice

3*) La fonction $f$ ‍ définie par $f (x) = x^{2}$ ‍ admet-elle une réciproque ?

Voici un tableau de valeurs de la fonction :

$x$ ‍	$- 2$ ‍	$- 1$ ‍	$0$ ‍	$1$ ‍	$2$ ‍
$f (x)$ ‍	$4$ ‍	$1$ ‍	$0$ ‍	$1$ ‍	$4$ ‍

f (- 2) = 4

f (2) = 4

, donc

4

est l'image de deux éléments différents. Par la relation réciproque

4

a deux images,

2

- 2

, donc cette relation n'est pas une fonction.

f

n'admet pas de réciproque.

Bien sûr,

4

n'est pas le seul élément qui a deux antécédents !

Caractérisation graphique

On considère la parabole représentative de la fonction carrée.

Une fonction admet une réciproque si à tout élément de l'ensemble de départ correspond un unique élément de l'ensemble d'arrivée, et si tout élément de l'ensemble d'arrivée est l'image d'un unique élément de l'ensemble de départ.

Mais ce n'est pas le cas de la fonction carré.

La droite d'équation

y = 4

a deux points d'intersection avec la parabole. Les abscisses de ces points sont les deux nombres qui ont comme image

4

En fait, quel que soit

a > 0

, la droite d'équation

y = a

a deux points d'intersection avec la parabole donc tout réel strictement positif a deux antécédents. La fonction carré n'admet pas de réciproque.

Il n'en est pas de même pour la fonction cube.

Quel que soit

a

, la droite d'équation

y = a

a un seul point d'intersection avec la courbe représentative de la fonction cube.

On en déduit que tout réel a un seul antécédent par la fonction cube et que cette fonction admet une réciproque.

C'est ce qu'on appelle parfois le "test de la droite horizontale". Une fonction admet une réciproque si et seulement si sa courbe représentative a un seul point d'intersection avec une parallèle à l'axe des abscisses.

On sait que les courbes représentatives de deux fonctions réciproques sont symétriques par rapport à la première bissectrice.

Voici l'image de la parabole d'équation

y = x^{2}

dans la symétrie par rapport à la première bissectrice :

On obtient la représentation graphique d'une relation qui n'est pas une fonction car à une valeur de

x

correspondent deux points de cette représentation graphique, donc deux valeurs de

y

C'est un résultat général.

En revanche, voici l'image de la courbe d'équation

y = x^{3}

dans la symétrie par rapport à la première bissectrice. On voit qu'à une valeur de

x

correspond un seul point de la courbe de la relation réciproque, donc une seule image

y

. Cette relation est donc bien une fonction.

À vous !

4) $g$ ‍ admet-elle une fonction réciproque ?

Il suffit de vérifier si toute parallèle à l'axe des abscisses a un seul point d'intersection avec la courbe représentative de la fonction.

Par exemple, on peut tracer la droite d'équation

y = 2

Cette droite a trois points d'intersection avec la courbe de

g

, donc il y a trois réels

x_{1}

x_{2}

x_{3}

qui ont la même image

y

par la fonction

g

. Par la relation réciproque, le réel

y

a trois images, donc cette relation réciproque n'est pas une fonction.

La courbe représentative de la fonction

g

ne satisfait pas au test de la droite horizontale, donc

g

n'admet pas de fonction réciproque.

5) $h$ ‍ admet-elle une fonction réciproque ?

Il suffit de vérifier si toute parallèle à l'axe des abscisses a un seul point d'intersection avec la courbe représentative de la fonction.

Toute parallèle à l'axe des abscisses a un seul point d'intersection avec la droite représentative de la fonction

h

. On en déduit que tout réel a un antécédent unique donc que la relation réciproque est une fonction et que

h

admet une fonction réciproque.

La droite représentative de la fonction

h

satisfait au test de la droite horizontale, donc

h

admet une fonction réciproque.

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Trier par :

johannafix
Posté il y a il y a un an. Lien direct vers le message de johannafix «Pourquoi est il nécessair ... »
Pourquoi est il nécessaire de préciser "quelque soit a supérieur à 0" dans le cas d'une fonction cube puisqu'une fonction cube admet en entrée et peut renvoyer des valeurs négatives? Est ce juste une erreur de formulation et on dirait plutôt quelque soit a différent de 0?

Réf. quote "Quel que soit a>0, la droite d'équation y=a a un seul point d'intersection avec la courbe représentative de la fonction cube."
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Réponse
- Elisabeth
  Posté il y a il y a un an. Lien direct vers le message de Elisabeth «En effet Johanna, merci p ... »
  En effet Johanna, merci pour ta remarque. C'est une coquille, désormais corrigée. Cette intersection entre la fonction cube et la droite y=a est unique, quel que soit a, même pour a=0
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  (2 votes)
bjahangir.2018
Posté il y a il y a 6 ans. Lien direct vers le message de bjahangir.2018 «Comment est-ce qu'on trou ... »
Comment est-ce qu'on trouve les restrictions d'un réciproque d'une fonction?
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