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Retour sur le théorème des accroissements finis

Le théorème des accroissements finis ne s'applique qu'aux fonctions continues sur [a,b] et dérivables sur ]a,b[. Nous étudions la raison de cette condition et apprenons à appliquer ce théorème.
Voici d'abord un rappel sur le théorème des accroissements finis et ses conditions d'application.

Le théorème et ses conditions d'application

Si f est une fonction continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[, alors il existe au moins un réel c appartenant à ]a,b[ tel que f(c) soit égal au taux de variation de f sur [a,b].
f(c)=f(b)f(a)ba
Graphiquement, cela signifie qu'il existe un point c où la tangente à la courbe représentative de f au point de coordonnées (c ;f(c)) est parallèle à la sécante passant par les points de coordonnées (a ;f(a)) et (b ;f(b)).
A function is graphed. The positive x-axis is unmarked. The graph is a curve. The curve starts at a closed circle at the origin, moves upward to a peak, moves downward slightly, and ends at a closed circle in quadrant 1. A secant line connects the end points of the curve. A tangent line is drawn parallel to the secant line, and touches the curve somewhere between the end points.
Pour pouvoir appliquer le théorème des accroissements finis sur un intervalle [a ;b], il faut que f soit dérivable sur l'intervalle ouvert ]a ;b[ et continue sur l'intervalle fermé [a ;b]. Un fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle, donc cela revient à dire que f doit être dérivable sur l'intervalle ouvert ]a ;b[ et continue an a et en b.
Donc,
Pour pouvoir appliquer le théorème des accroissements finis sur un intervalle, il faut que la fonction soit dérivable sur l'intervalle, sauf éventuellement en ses bornes, et il faut qu'elle soit continue en ses bornes.

Pourquoi est-il important que la fonction soit dérivable sur l'intervalle, sauf éventuellement en ses bornes ?

Voici un exemple pour le comprendre. Ci-dessous, la courbe représentative d'une fonction f. Elle a un point anguleux, donc elle n'est pas dérivable sur l'intervalle ]a ;b[.
Function f is graphed. The positive x-axis includes values a and b, from left to right. The graph is a set of line segments. The set starts at a closed circle above x = a, moves upward to a sharp turn, moves downward, and ends at a closed circle at x = b, higher than the starting point.
Cette courbe admet 2 tangentes, mais ni l'une ni l'autre n'est parallèle à la sécante passant par les points de coordonnées (a ;f(a)) et (b ;f(b)).
The graph of function f has 2 tangent lines and a secant line. Tangent A starts in quadrant 3, moves upward along the upward line segment, and ends in quadrant 1. Tangent B starts in quadrant 1, moves downward along the downward line segment, and ends in quadrant 1. A secant line connects the endpoints of the line segments.

Pourquoi est-il nécessaire que la fonction soit continue aux bornes de l'intervalle ?

Soit la courbe de la fonction g :
Function g is graphed. The positive x-axis includes values a and b, from left to right. The graph is a curve. The curve starts at a closed circle above x = a, moves upward with increasing steepness, and ends at a closed circle at x = b.
g est dérivable sur ]a ;b[, elle est continue en a et en b, donc on peut appliquer le théorème des accroissements finis.
The graph of function g has a tangent line and a secant line. The tangent line starts in quadrant 4, moves upward, touches the curve, and ends in quadrant 1. The secant line connects the endpoints of the curve.
On modifie la fonction g. On ne modifie pas la limite à gauche de g en b : limxbg(x), mais on modifie la valeur de g(b). Cette nouvelle fonction g n'est pas continue en b.
Function g is graphed. The positive x-axis includes values a and b, from left to right. The graph is a curve. The curve starts at a closed circle above x = a, moves upward with increasing steepness, and ends at an open circle at x = b. A closed point is plotted at x = b, below the starting point at x = a. A secant line connects the 2 closed circles.
On voit que la pente de la sécante à la courbe qui passe par les points de coordonnées (a ;f(a)) et (b ;f(b)) est négative. On voit aussi qu'une tangente à la courbe de g ne peut être qu'une droite de pente positive. Donc, il n'y a pas de tangente à la courbe de g parallèle à cette sécante.
De façon générale, si la fonction n'est pas continue aux bornes de l'intervalle, aucune tangente à la courbe de cette fonction n'est parallèle à la sécante qui passe par les points dont les abscisses sont les bornes de cet intervalle.
Dans cette première série d'exercices, il s'agit d'étudier si on peut appliquer à la fonction h le théorème des accroissements finis sur différents intervalles.
Exercice 1.A
Function h is graphed. The x-axis goes from negative 8 to 8. The graph consists of a curve and a set of line segments. The curve starts in quadrant 1, moves downward, moves vertically through (negative 6, 3), and ends at a closed circle at (negative 3, negative 3). The set starts at an open circle at (negative 3, negative 5), moves upward to a sharp turn at (6, 4), moves downward, and ends at (8, 2).
Peut-on appliquer à la fonction h le théorème des accroissements finis sur l'intervalle [5 ;1] ?
Choisissez une seule réponse :

Exercice 2
La courbe représentative de la fonction f admet une tangente parallèle à l'axe des ordonnées au point d'abscisse 2.
Peut-on appliquer à la fonction f le théorème des accroissements finis sur l'intervalle [1 ;5] ?
Choisissez une seule réponse :

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.
Remarque : Si une fonction f ne satisfait pas aux conditions d'application du théorème des accroissements finis sur un intervalle [a ;b], cela ne signifie pas qu'il n'existe pas c[a ;b] tel que f(c)(ba)=f(b)f(a).
Une telle valeur de c peut exister, mais si les conditions d'application du théorème des accroissements finis ne sont pas satisfaites, son existence n'est pas certaine.
Par exemple, dans le dernier exercice, on ne peut pas appliquer le théorème des accroissements finis sur l'intervalle [1 ;5], et pourtant il y a deux points de cet intervalle où la tangente à la courbe est parallèle à la sécante qui passe par les points de coordonnées (a ;f(a)) et b ;f(b)).
Function f is graphed. The x-axis goes from negative 2 to 8. The graph consists of a curve. The curve starts in quadrant 3, moves downward to point (negative 1, negative 3), moves upward, moving vertically through (2, 0), continues to point (5, 3), moves downward, and ends at (8, 0). Two parallel tangent lines each starts in quadrant 3, moves upward, and ends in quadrant 1. The upper tangent line touches the curve at about (2.8, 2.2). The lower tangent line touches the curve at about (1.2, negative 2.2). A secant line connects points (negative 1, negative 3) and (5, 3).
Exercice 3
Voici un tableau de valeurs de la fonction h :
x371011
h(x)1526
Jules a écrit : h(7)h(3)73=1, donc il existe c[3,7] tel que h(c)=1.
A quelle condition est-il vrai qu'il existe c[3,7] tel que h(c)=1 ?
Choisissez une seule réponse :

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

Une erreur fréquente : Ne pas savoir discerner si les conditions d'application du théorème sont satisfaites

On peut prendre l'exemple de l'Exercice 3. D'après le cours, on peut appliquer le théorème des accroissements finis à la fonction h sur l'intervalle [3 ;7], à condition de disposer de l'une ou l'autre de ces données :
  • h est dérivable sur l’intervalle ouvert ]3 ;7[ et elle est continue sur l'intervalle fermé [3 ;7].
  • h est dérivable sur l’intervalle ouvert ]3 ;7[ et elle est continue en 3 et en 7.
Mais les données ne sont pas toujours sous cette forme. Par exemple, dans cet exercice, la donnée que h est dérivable sur l'intervalle [3 ;7] suffisait car si une fonction est dérivable sur un intervalle, elle est continue sur cet intervalle.
Un autre exemple : la donnée aurait pu être, par exemple, "h est dérivable sur l'intervalle ouvert ]2 ;8[". Dans l'exercice, l'intervalle considéré est l'intervalle [3 ;7]. Cette donnée aurait été suffisante car si h est dérivable sur l'intervalle ]2 ;8[, alors elle est dérivable sur l'intervalle ]3 ;7[, et elle est continue sur l'intervalle [3 ;7].
Exercice 4
f est une fonction définie et dérivable sur . f(1)=2 et f(5)=2.
Dans la colonne de gauche de ce tableau, des conclusions. Dans celle de droite, et dans le désordre, des noms de théorèmes qui ont permis ces conclusions. Mettre les éléments de la deuxième colonne dans le bon ordre.
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Une autre erreur fréquente : Confondre les théorèmes

Attention à ne pas confondre le Théorème des valeurs intermédiaires, le Théorème des bornes atteintes et le Théorème des accroissements finis. Leurs structures sont similaires, mais leurs conditions d'application et les points qui sont en jeu différent.
  • Le Théorème des valeurs intermédiaires permet d'établir qu'une fonction prend une certaine valeur comprise entre deux autres.
  • Le Théorème des bornes atteintes permet d'établir qu'une fonction admet un maximum ou un minimum.
  • Le Théorème des accroissements finis permet d'établir que la dérivée prend une certaine valeur.
Chacun de ces théorèmes a un objet différent. Ce n'est pas si difficile de ne pas les confondre.

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