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Cours : 5e année secondaire - 6 h > Chapitre 8 

Leçon 2: Théorème des accroissements finis
Mathématiques
5e année secondaire - 6 h
Autres applications des dérivées de fonctions
Théorème des accroissements finis
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Retour sur le théorème des accroissements finis

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Le théorème des accroissements finis ne s'applique qu'aux fonctions continues sur [a,b] et dérivables sur ]a,b[. Nous étudions la raison de cette condition et apprenons à appliquer ce théorème.
Voici d'abord un rappel sur le théorème des accroissements finis et ses conditions d'application.

Le théorème et ses conditions d'application

Si f est une fonction continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[, alors il existe au moins un réel c appartenant à ]a,b[ tel que f′(c) soit égal au taux de variation de f sur [a,b].
f′(c)=f(b)−f(a)b−a
Graphiquement, cela signifie qu'il existe un point c où la tangente à la courbe représentative de f au point de coordonnées (c ;f(c)) est parallèle à la sécante passant par les points de coordonnées (a ;f(a)) et (b ;f(b)).
Pour pouvoir appliquer le théorème des accroissements finis sur un intervalle [a ;b], il faut que f soit dérivable sur l'intervalle ouvert ]a ;b[ et continue sur l'intervalle fermé [a ;b]. Un fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle, donc cela revient à dire que f doit être dérivable sur l'intervalle ouvert ]a ;b[ et continue an a et en b.
Donc,
Pour pouvoir appliquer le théorème des accroissements finis sur un intervalle, il faut que la fonction soit dérivable sur l'intervalle, sauf éventuellement en ses bornes, et il faut qu'elle soit continue en ses bornes.

Pourquoi est-il important que la fonction soit dérivable sur l'intervalle, sauf éventuellement en ses bornes ?

Voici un exemple pour le comprendre. Ci-dessous, la courbe représentative d'une fonction f. Elle a un point anguleux, donc elle n'est pas dérivable sur l'intervalle ]a ;b[.
Cette courbe admet 2 tangentes, mais ni l'une ni l'autre n'est parallèle à la sécante passant par les points de coordonnées (a ;f(a)) et (b ;f(b)).

Pourquoi est-il nécessaire que la fonction soit continue aux bornes de l'intervalle ?

Soit la courbe de la fonction g :
g est dérivable sur ]a ;b[, elle est continue en a et en b, donc on peut appliquer le théorème des accroissements finis.
On modifie la fonction g. On ne modifie pas la limite à gauche de g en b : limx→b−g(x), mais on modifie la valeur de g(b). Cette nouvelle fonction g n'est pas continue en b.
On voit que la pente de la sécante à la courbe qui passe par les points de coordonnées (a ;f(a)) et (b ;f(b)) est négative. On voit aussi qu'une tangente à la courbe de g ne peut être qu'une droite de pente positive. Donc, il n'y a pas de tangente à la courbe de g parallèle à cette sécante.
De façon générale, si la fonction n'est pas continue aux bornes de l'intervalle, aucune tangente à la courbe de cette fonction n'est parallèle à la sécante qui passe par les points dont les abscisses sont les bornes de cet intervalle.
Dans cette première série d'exercices, il s'agit d'étudier si on peut appliquer à la fonction h le théorème des accroissements finis sur différents intervalles.
Exercice 1.A
Peut-on appliquer à la fonction h le théorème des accroissements finis sur l'intervalle [−5 ;−1] ?
Choisissez une seule réponse :

Exercice 2
La courbe représentative de la fonction f admet une tangente parallèle à l'axe des ordonnées au point d'abscisse 2.
Peut-on appliquer à la fonction f le théorème des accroissements finis sur l'intervalle [−1 ;5] ?
Choisissez une seule réponse :

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.
Remarque : Si une fonction f ne satisfait pas aux conditions d'application du théorème des accroissements finis sur un intervalle [a ;b], cela ne signifie pas qu'il n'existe pas c∈[a ;b] tel que f′(c)(b−a)=f(b)−f(a).
Une telle valeur de c peut exister, mais si les conditions d'application du théorème des accroissements finis ne sont pas satisfaites, son existence n'est pas certaine.
Par exemple, dans le dernier exercice, on ne peut pas appliquer le théorème des accroissements finis sur l'intervalle [−1 ;5], et pourtant il y a deux points de cet intervalle où la tangente à la courbe est parallèle à la sécante qui passe par les points de coordonnées (a ;f(a)) et b ;f(b)).
Exercice 3
Voici un tableau de valeurs de la fonction h :
x371011
h(x)15−2−6
Jules a écrit : h(7)−h(3)7−3=1, donc il existe c∈[3,7] tel que h′(c)=1.
A quelle condition est-il vrai qu'il existe c∈[3,7] tel que h′(c)=1 ?
Choisissez une seule réponse :

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

Une erreur fréquente : Ne pas savoir discerner si les conditions d'application du théorème sont satisfaites

On peut prendre l'exemple de l'Exercice 3. D'après le cours, on peut appliquer le théorème des accroissements finis à la fonction h sur l'intervalle [3 ;7], à condition de disposer de l'une ou l'autre de ces données :
  • h est dérivable sur l’intervalle ouvert ]3 ;7[ et elle est continue sur l'intervalle fermé [3 ;7].
  • h est dérivable sur l’intervalle ouvert ]3 ;7[ et elle est continue en 3 et en 7.
Mais les données ne sont pas toujours sous cette forme. Par exemple, dans cet exercice, la donnée que h est dérivable sur l'intervalle [3 ;7] suffisait car si une fonction est dérivable sur un intervalle, elle est continue sur cet intervalle.
Un autre exemple : la donnée aurait pu être, par exemple, "h est dérivable sur l'intervalle ouvert ]2 ;8[". Dans l'exercice, l'intervalle considéré est l'intervalle [3 ;7]. Cette donnée aurait été suffisante car si h est dérivable sur l'intervalle ]2 ;8[, alors elle est dérivable sur l'intervalle ]3 ;7[, et elle est continue sur l'intervalle [3 ;7].
Exercice 4
f est une fonction définie et dérivable sur ℝ. f(1)=−2 et f(5)=2.
Dans la colonne de gauche de ce tableau, des conclusions. Dans celle de droite, et dans le désordre, des noms de théorèmes qui ont permis ces conclusions. Mettre les éléments de la deuxième colonne dans le bon ordre.
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Une autre erreur fréquente : Confondre les théorèmes

Attention à ne pas confondre le Théorème des valeurs intermédiaires, le Théorème des bornes atteintes et le Théorème des accroissements finis. Leurs structures sont similaires, mais leurs conditions d'application et les points qui sont en jeu différent.
  • Le Théorème des valeurs intermédiaires permet d'établir qu'une fonction prend une certaine valeur comprise entre deux autres.
  • Le Théorème des bornes atteintes permet d'établir qu'une fonction admet un maximum ou un minimum.
  • Le Théorème des accroissements finis permet d'établir que la dérivée prend une certaine valeur.
Chacun de ces théorèmes a un objet différent. Ce n'est pas si difficile de ne pas les confondre.

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