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6e année secondaire - 2 h
Cours : 6e année secondaire - 2 h > Chapitre 2
Leçon 5: Variable aléatoire continue : Loi normale- Densité de probabilité
- Densité de probabilité et calcul de probabilités
- Déterminer intuitivement si telle ou telle variable aléatoire suit une loi normale
- La règle empirique
- Loi normale - règle empirique
- Variable aléatoire normale et calcul de probabilités
- Écart-réduit
- Variable centrée réduite
- Calculer l'écart-réduit
- Loi normale centrée réduite et règle empirique
- En savoir plus sur la règle empirique et les écarts réduits
- La règle empirique
- Calcul de probabilités pour une variable aléatoire suivant une loi normale
- Calcul de probabilités pour une variable aléatoire suivant une loi normale - 2
- La loi normale - Savoirs et savoir-faire
La loi normale - Savoirs et savoir-faire
Les lois normales ont une grande importance en statistiques. La courbe représentative de leur fonction de densité est appelée courbe de Gauss ou courbe en cloche du fait de sa forme. Elle possède un axe de symétrie en la moyenne ou la médiane (elles sont égales) et des intervalles remarquables (68% des observations sont comprises dans un intervalle de +/- un fois l'écart-type autour de la moyenne.)
La loi normale ou loi de Laplace-Gauss
Les premiers statisticiens ont constaté que de nombreuses distributions statistiques observées pouvaient être décrites et modélisées par une loi nommée par conséquent loi normale (cela ne signifie pas pour autant que les autres distributions soient anormales).
Les propriétés d'une distribution normale sont :
- La fonction de densité de probabilités de la loi normale a la forme d'une courbe en cloche symétrique
- la moyenne et la médiane sont égales ; la courbe est centrée sur la moyenne
- L’axe des abscisses est une asymptote, σ représente la différence des abscisses entre le sommet de la courbe et le point d’inflexion.
des observations sont comprises dans un intervalle de +/- un fois l'écart-type autour de la moyenne des observations sont comprises dans un intervalle de +/- fois l'écart-type autour de la moyenne- et
des observations sont comprises dans un intervalle de +/- fois l'écart-type autour de la moyenne.
Tracer la courbe représentative d'une fonction de densité de la loi normale : exemple
Le diamètre du tronc d'une certaine variété de pin suit la loi normale
de paramètres et .
Tracer la courbe représentative de la distribution "diamètre des troncs".
Solution :
1 : On trace la courbe représentative de la fonction densité de la loi N .
2 : La courbe est symétrique par rapport à la droite d'équation .
3 : On sait que l'intervalle +/- , c'est à dire contient % des observations. L'intervalle +/- c'est à dire contient % des observations.
Calcul de pourcentages d'observations : exemple
Une certaine variété de pin a un diamètre moyen du tronc de et un écart-type de .
Quel est environ le pourcentage de pins dont le diamètre du tronc est supérieur à
Solution :
1 : On trace la courbe représentative de la fonction densité de la loi N avec et .
2 : Un diamètre de correspond au diamètre à deux écarts-types au-dessus de la moyenne. On colorie l'aire du domaine correspondante à .
3 : On additionne les pourcentages d'observations correspondants à cette probabilité :
Environ des pins ont un diamètre supérieur à
Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices sur la règle empirique.
Calcul d'un nombre d'observations : exemple
Une certaine variété de pin a un diamètre moyen du tronc de et un écart-type de .
Une parcelle de la forêt contient de ces pins.
Quel est environ le nombre de ces pins dont le diamètre du tronc est inférieur à
Solution :
1 : On trace la courbe représentative de la fonction densité de la loi N avec et .
2 : Un diamètre de correspond au diamètre à un écart -type en dessous de la moyenne. On colorie l'aire du domaine correspondante à .
3 : On additionne les pourcentages d'observations correspondants à cette probabilité :
Environ des pins ont un diamètre inférieur à
4 : On calcule le nombre de pins correspondant.
On calcule de .
Environ pins ont un diamètre inférieur à
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