Variable centrée réduite

on va continuer notre travail sur la loi normale on va faire cet exercice là alors dans une université les notes sur 100 à l'examen de statistiques de fin de première année suivent une loi normale de moyenne muet galles 81 et d'écart type sigma égale 6 3 bon ça on sait ce que ça veut dire alors ce qu'on nous demande c'est de calculer la variable centrée réduite la variable centrée réduite associée à chacune des notes suivantes pour chaque cas tracer un graphique et la notte bon peut-être qu'on pourra faire un seul graphique et représenter tous sur le même alors là la première chose à faire on a des notes ici un il faut donc qu'on calcule la variable centrée réduite associée à chaque chacune de ces notes alors qu'est ce que ça veut dire déjà ça qu'est ce que c'est qu'une variable centrée réduite centrée réduite bien fait c'est c'est une mesure de combien d'écart type la note s'écarte de la moyenne c'est ça hein ça c'est de combien de sigma d' combien d'écart type la note s'écarte de la moyenne alors ça on en a un peu parlé dans d'autres vidéos et là on va les calculs et à chaque fois pour pour les quatre notes qui sont là alors je vais commencer par faire représenter un petit peu la situation donc la distribution des notes à cet examen alors je vais faire déjà un axe horizontal ça c'est celui qui porte les notes de la variable les valeurs de la variable pardon et là je vais déjà placé la moyenne alors la moyenne on nous dit que c'est 81 muet galles 81 qu'ici on va la mettre ici au milieu ça c'est notre moyenne donc mû égale 81 et donc ici ça va être la kz2 symétrie de ma courbe et la courbe en question c'est une courbe qui va avoir une forme une courbe de gauss donc c'est une courbe qui va avoir une forme de cloche en cloche comme ça va faire le plus symétrique possible voilà c'est ce que je peux faire de mieux c'est pas tout à fait symétrique mais bon faire à la main c'est pas évident donc en tout cas voilà ça c'est là la distribution de des notes à l'examen avec cette moyenne ici qui est de 81 80 sur 100 c'est quand même pas mal comme moyenne et puis là dessus on va placer les écarts types parce que là ce qui va nous intéresser c'est de mesurer l'écart de combien d'écart type on s'écarte de la moyenne alors je vais placer le la moyenne plus l'écart type 6 g si j'ai la moyenne 80 et que j'ajoute un écart-type donc ça va faire 80 + 6 3 c'est à dire 87,3 alors ça je vais le placer ici 87,3 disons que c'est ici 87,3 donc ça c'est la moyenne plus un écart type je vais faire des pointillés comme ça et puis je vais faire la même chose représenter la même distance de l'autre côté ici ça va être la moyenne - l'écart type alors la moyenne 81 - l'écart type eur80 -6 a fait 75 sigean mais il faut que j'enlève encore 0,3 donc j'obtiens 74,7 ici c'est 74,7 voilà et donc là j'ai ce pointillés ici donc cet intervalle là c'est un intervalle de un écart-type ici là j'ai sigma enfin de deux écarts types âge vous dire parce que ici j'ai sigma est ici j'ai aussi une distance de sigma voilà puis bon je peux aussi placer les allées les valeurs moyennes plus deux écarts types et moyennes moins deux écarts types donc ici je vais avoir deux écarts types être sa moyenne + 2 écart type et la moyenne moins deux écarts types ça va être ici voilà bon ça c'est pour visualiser un petit peu la situation maintenant on va commencer à travailler sur les premiers cas alors le cas à la note c'est 65 alors je vais commencer par mesurer la distance qu'il ya entre cette note est la moyenne alors attention parce que bon on va garder un signe évidemment quand on parle de distance on a envie de d'avoir des distances positif mais là en fait on va plutôt mesuré l'écart par rapport à la moyenne donc on va garder un signe parce que si la variable centrée réduite est négatif ça voudra dire qu elle est inférieure à la moyenne et si elle est positive ça voudra dire qu'elle est supérieure à la moyenne donc ça sera ça donne la distance plus une indication de la position par rapport à cette heure à cette moyenne donc là je vais déjà commencer par calculer l'écart par rapport à la moyenne c'est 65 - 81 et puis en fait cet écart là je vais l'exprimer en termes de d'écart type sigma donc je veux diviser tout ça par 6 3 6 3 alors voilà 65 - 81 ça fait moins 16 divisé donc par 6,3 alors maintenant je vais prendre la calculatrice donc c'est moins fais / 6,3 alors ça fait environ moins 2,20 disons moins deux points 539 est un bon jeu arrondir à -2 54 donc ça c'est environ - 2,54 ça veut dire que cette note l'a65 ses cartes elle est située à 2.54 écart type avant la moyenne puisqu'il ya le signe - donc je vais pouvoir la place est ici ici j'avais un écart type 2 écart-type la g3 écart-type ce que le pour être représentés ici trois écarts type ce serait là donc ma note 65 elle va être ici à peu près 65 c'est là c'est à deux écarts type 2 54 écart type avant la moyenne puisqu'il est le signe - voilà mais là la c2 écart type là c'est coûte 3 écartée ok alors on continue avec le cas numéro le cab est donc b la note c 83 et on va mesurer l'écart par rapport à la moyenne donc ses 83 - 81 qu'on va exprimer en terme d'écart type donc je vais / 6 3 donc ça ça fait 2 sur 6 3 prendre la calculatrice de diviser par 6 3 ça fait avait environ 0,32 on va rebondir au centième donc environ 0 32 donc ça ça nous dit que la note 83 il s'écarte de 0,32 écart type de la moyenne en étant supérieure puisque là c'est un signe positif donc on est au dessus de la moyenne et puis alors on peut placer là on peut la placer de différentes manières soit en évaluant à peu près l'échelle sur l' axe donc là c'est 87 là ça sera 83 et 84 et demi donc on est à peu près là voilà un peu moins de un demi écart type de la moyenne donc ça c'est la note 83 voilà alors on continue avec la note c'est le cas c'est le cas c'est où la note et 93 93 donc toujours pareil on mesure l'écart par rapport à la moyenne donc ses 93 - 81 que j'exprime en termes de d'écart type donc je divise par 6,3 93 - 81 ça fait douze donc 12 sur 6,3 ça va être à peu près de 1 je vais prendre la calculatrice 12 / 6,3 ça fait environ 1,9 environ 1,9 écart-type donc cette note là 93 elle s'écarte d'à peu près 1,9 écart type de la moyenne en étant supérieure puisque là encore on a un nombre un signe positif donc ici ces deux écarts types là on avait marqué un écart type là un deuxième ici donc nous on est à pratiquement deux écarts types de la moyenne positif en de force en est de ce côté là donc c'est à peu près là disons voilà 93 voilà je vais passer au dernier alors le petit dès maintenant la note c'est sans ça c'est une très bonne note alors on fait comme d'habitude je vais mesurer l'écart par rapport à la moyenne donc sans -81 / 6 3 pour exprimer sa en terme d'écart type donc sans moins 80 ça fait 19 / 6 3 et là on voit le calculer avec la calculatrice 19 / 6 3 bien ça 19 oui c'est ça 19 / 6 3 ça fait on va arrondir au 10e donc disons 3 et 3 écart type voilà donc cette note là elle est à trois écarts types de la moyenne donc je vais pouvoir la place est comme ça là j'ai un écart type de la moyenne alors c'est le signe positif façon c'est une autre qui est supérieure à la moyenne là j'ai deux écarts types et 3 écart type ça va être à peu près ici voilà ici c'est la note sans alors c'est la note maximale 1 pour nous notre distribution notre variable aléatoire ici elle est discrète n'est pas continue donc effectivement quand on regarde la sur 7 sur cette courbe l'impression qu'on peut avoir même des notes supérieures à 100 puisque j'ai dessiné ça comme ça mais c'est parce que dans le cas d'une loi normale idéal effectivement on peut continuer on peut avoir n'importe quelle note oddo de l'a201 évidemment on peut aller beaucoup plus loin avec des probabilités qui seront vraiment un film est d'ailleurs ça serait pas de ça n'aurait pas de sens d'aller calcule la probabilité d'avoir exactement sens puisque celle là il serait nulle alors que dans notre cas qui est une le cas d'une variable aléatoire discrète c'est à ça a du sens de calculer la probabilité d'avoir s'en est par contre en or il y aura une probabilité nul d'avoir plus de sens voilà bon bah j'espère que ça se fera aider à te familiariser avec ces notions de variables centrée réduite qui mathématiquement est vraiment pas très compliqué mais par contre elle est très utile puisqu'elle permet ce qu'on verra peut-être plus tard de se ramener à une loi normale centrée réduite