Écart-réduit

Qu'est-ce qu'un écart-réduit ?

Un écart-réduit mesure de combien d'écarts-types une observation particulière est éloignée de la moyenne de la population.

La formule qui permet de calculer un écart-réduit :

z = \frac{observation - moyenne}{écart-type}

Ou encore :

z = \frac{x - μ}{σ}

Comment interpréter un écart-réduit ?

Un écart-réduit positif signifie que l'observation est supérieure à la moyenne.
Un écart-réduit négatif signifie que l'observation est inférieure à la moyenne.
Un écart-réduit proche de $0$ ‍ signifie que l'observation est proche de la moyenne.
Une observation est considérée comme atypique si son écart-réduit est supérieur à $3$ ‍ ou inférieur à $- 3$ ‍.
Pour une variable $x$ ‍ donnée ( $n$ ‍ observations $x_{1}, . . ., x_{n}$ ‍), on considère comme atypiques les observations $x_{i}$ ‍ dont l'écart réduit $z_{i}$ ‍n'appartiennent pas à l'intervalle $[z_{1 - α}; z_{1 - α}]$ ‍ avec $z_{1 - α}$ ‍ quantile d’ordre $1 - α$ ‍ d’une loi $N (0, 1)$ ‍ et $α < 5$ ‍. Ici, on a considéré $α = 0, 999$ ‍, donc $z_{0, 999} = 3, 090$ ‍ que l'on approxime à $3$ ‍. Selon la valeur de $α$ ‍, une observation est considérée comme atypique si son écart-réduit n'est pas compris entre $\pm 2$ ‍ ou entre $\pm 2, 5$ ‍.
En statistiques, il existe de nombreuses méthodes différentes pour déterminer si une observation est atypique, mais ce n'est pas l'objet de la leçon.

La vidéo.

Soit la variable aléatoire note obtenue à l'épreuve d'histoire du brevet des collèges à Marseille qui suit la loi Normale d'espérance

μ = 85

et d'écart-type

σ = 2

Max a obtenu une note de

86

à l'épreuve.

Quel est l'écart-réduit de la note de Max ?

\begin{aligned} z & = \frac{note de Max - moyenne}{écart-type} \\ z & = \frac{86 - 85}{2} \\ z & = \frac{1}{2} = 0, 5 \end{aligned}

L'écart-réduit est égal à

0, 5

. En d'autres termes, la note de Max est de

0, 5

écarts-types au-dessus de la moyenne.

Soit la variable aléatoire note obtenue à l'épreuve de mathématiques du brevet des collèges à Toulouse qui suit la loi Normale d'espérance

μ = 82

et d'écart-type

σ = 4

Max a obtenu une note de

74

à l'épreuve.

Quel est l'écart-réduit de la note de Max ?

\begin{aligned} z & = \frac{note de Max - moyenne}{écart-type} \\ z & = \frac{74 - 82}{4} \\ z & = \frac{- 8}{4} = - 2 \end{aligned}

L'écart-réduit est égal à

- 2

. En d'autres termes, la note de Max est de

2

écarts-types en dessous de la moyenne.

Exercice A

Soit la variable aléatoire note obtenue à l'épreuve de mathématiques du brevet des collèges à Paris qui suit la loi Normale d'espérance

μ = 74

et d'écart-type

σ = 4, 0

Nadia a obtenu une note de

70

à l'épreuve.

Calculer l'écart-réduit de la note de Nadia à cette épreuve du brevet.

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

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