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Cours : Cycle 4 > Chapitre 2

Leçon 1: L'ordre des opérations

Priorités de calcul

Des règles de priorité d'une importance capitale.

Dans une expression on doit effectuer les calculs dans l'ordre suivant :

Les $Parenthèses$ ‍ : On effectue d'abord les calculs entre les parenthèses. Par exemple,

2 \times (3 + 1) = 2 \times 4 = 8

La barre de fraction équivaut à des parenthèses.

Il y a plusieurs symboles de priorité, même si vous ne les avez pas encore tous vus. Voici quelques symboles usuels.

Nombre fractionnaire a une opération prioritaire implicite. Par exemple $3 \frac{4}{5}$ ‍ signifie $(3 + 4 \div 5)$ ‍.
Barre de fraction signifie que l'on calcule d'abord le numérateur et le dénominateur, puis la fraction. Par exemple, si on doit effectuer $25 \div \frac{3 + 2}{4}$ ‍, on calcule d'abord $3 + 2$ ‍, on divise la somme par $4$ ‍ : $5 \div 4 = 1, 25$ ‍. Enfin, on divise $25$ ‍ par $1, 25$ ‍.
Exposant a une opération prioritaire implicite : celle de l'exposant. Par exemple, pour calculer $6^{3 + 1}$ ‍, on additionne d'abord $3$ ‍ et $1$ ‍, puis on calcule $6^{4}$ ‍.
Racine carrée ou autre exposant fractionnaire : l'opération sous le radicande est prioritaire. Donc $\sqrt{9 \times 3}$ ‍ est égal à $\sqrt{27}$ ‍ et non à $3 \times 3$ ‍.
Valeur absolue : on effectue d'abord les opérations entre les barres de la valeur absolue. Donc, $| 5 - 8 |$ ‍ est égal à $| - 3 |$ ‍.
Fonction : on calcule d'abord l'image d'un nombre par la fonction. Si on doit calculer $f (8) + 13$ ‍, on doit d'abord calculer l'image de $8$ ‍ par $f$ ‍ et ensuite lui ajouter $13$ ‍. Ces fonctions sont par exemple $\sin$ ‍, $\cos$ ‍ et $\tan$ ‍.

Les $Exposants$ ‍ : On effectue ensuite les puissances. Par exemple,

2 \times 3^{2} = 2 \times 9 = 18

Vous savez déjà que l'opération inverse de l'addition est la soustraction, et celle de la multiplication est la division. Retenez que deux opérations inverses auront le même ordre de priorité.

L'opération puissance n'est pas commutative :

3^{2} \neq 2^{3}

par exemple. L'opération inverse dépend de la base ou de l'exposant.

Racines comme les racines carrées, avec le symbole $\sqrt{}$ ‍, nous aident à trouver les bases possibles d'une puissance.
Logarithmes nous aident à trouver l'exposant d'une puissance.

Ce n'est pas grave si ces opérations sont nouvelles pour vous. Une fois que vous les aurez apprises, n'oubliez pas qu'elles doivent être effectuées dans la même étape que leur opérations inverses.

Les $Multiplications$ ‍ et les $Divisions$ ‍ : On effectue ensuite les multiplications et les divisions. Par exemple,

1 + 4 \div 2 = 1 + 2 = 3

Les $Additions$ ‍ et les $Soustractions$ ‍ : On effectue enfin les additions et les soustractions.

Un moyen mnémotechnique pour se souvenir des règles de priorité est

P E MD AS

. Il signifie Parenthèse, Exposant, Multiplication Division, Addition et Soustraction.

Si toutes les opérations à effectuer ont le même ordre de priorité, on les effectue de gauche à droite. Par exemple, si on doit effectuer

4 - 2 + 3

4 \div 2 \times 3

(voir l'exemple 3).

Exemple 1

Effectuer $6 \times 4 + 2 \times 3$ ‍.

Il n’y a ni parenthèses, ni puissances, on commence par les multiplications.

$6 \times 4 + 2 \times 3$ ‍	‍
$= 6 \times 4 + 2 \times 3$ ‍	on multiplie $6$ ‍ par $4$ ‍.
$= 24 + 2 \times 3$ ‍	on multiplie $2$ ‍ par $3$ ‍.
$= 24 + 6$ ‍	on additionne $24$ ‍ et $6$ ‍.
$= 30$ ‍	... et c'est terminé !

Attention à ne pas aller trop vite ! Pour effectuer

24 + 2 \times 3

, si en oubliant que la multiplication a priorité sur l'addition, on avait commencé par effectuer la somme

24 + 2

, on aurait trouvé que l'expression est égale à

26

\times

3

, ce qui est faux.

Exemple 2

Effectuer $6^{2} - 2 \times (5 + 1 + 3)$ ‍.

$6^{2} - 2 (5 + 1 + 3)$ ‍	‍
$= 6^{2} - 2 (5 + 1 + 3)$ ‍	on calcule la somme $5 + 1 + 3$ ‍ qui est entre parenthèses.
$= 6^{2} - 2 (9)$ ‍	on calcule $6^{2}$ ‍. $6 \times 6 = 36$ ‍.
$= 36 - 2 (9)$ ‍	on multiplie $2$ ‍ par $9$ ‍.
$= 36 - 18$ ‍	on soustrait $18$ ‍ de $36$ ‍.
$= 18$ ‍	... et c'est terminé !

Exemple 3

Effectuer $7 - 2 + 3$ ‍.

On effectue les opérations de gauche à droite.

Exact	Faux
$\begin{aligned} 7 - 2 + 3 \\ = & 5 + 3 \\ = & 8 \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} 7 - 2 + 3 \\ = & 7 - 5 \\ = & 2 \end{aligned}$ ‍

L'addition et la soustraction ont le même ordre de priorité. Il faut effectuer les calculs de gauche à droite.

À vous !

Exercice 1

2 + 12 \div 2 \times 3 =

Des exercices pour vous entraîner : Priorités de calcul, Priorités de calcul avec des nombres positifs ou négatifs, Priorités de calcul avec des puissances .

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zorezo93
Posté il y a il y a 2 ans. Lien direct vers le message de zorezo93 «pourquoi la pizza est ron ... »
pourquoi la pizza est ronde alore que la boite est carre et pour qu'elle raison on la mange en triengle ?
Bouton qui renvoie à la page de connexionCommentez le post de zorezo93 «pourquoi la pizza est ron ... »
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