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Cours : 5e année secondaire - 2 h > Chapitre 2

Leçon 4: Somme de termes d'une suite

Trois exercices

Pour s'entraîner

Exercice 1

\sum_{k = 1}^{275} (- 5 k + 12) =

On explicite la question.

On cherche la somme

a_{1} + … + a_{k} + … + a_{275}

(- 5 \times 1 + 12) + (- 5 \times 2 + 12) + … + (- 5 \times 275 + 12)

Le terme général est

a_{k} = - 5 k + 12

donc la suite

(a_{k})

est une suite arithmétique.

Formule

La somme

S_{n}

des

n

premiers termes d'une suite arithmétique est égale à

S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n})}{2} \times n

a_{1}

est le premier terme de la somme,

a_{n}

le dernier terme et

n

le nombre de termes.

De quoi a-t-on besoin pour appliquer la formule ?

Le nombre de termes est

n = 275

On doit trouver le premier terme

a_{1}

et le dernier terme

a_{275}

Étape 1 : On calcule $a_{1}$ ‍ et $a_{275}$ ‍

a_{1} = - 5 \times 1 + 12 = 7

a_{275} = - 5 \times 275 + 12 = - 1363

Étape 2 : On applique la formule

\begin{aligned} S_{n} & = \frac{(a_{1} + a_{n})}{2} \times n \\ S_{275} & = \frac{(7 + (- 1363))}{2} \times 275 \\ S_{275} & = - 678 \times (275) \\ S_{275} & = - 186 450 \end{aligned}

La réponse

- 186 450

Exercice 2

La suite arithmétique

a_{i}

est définie par :

a_{1} = 2

a_{i} = a_{i - 1} - 3

Calculer la somme des $335$ ‍ premiers termes de la suite.

On réfléchit

La somme à calculer est :

2 + (- 1) + (- 4) + (- 7) …

C'est la somme des termes d'une suite arithmétique car chacun des termes de la suite est égale à la somme du terme précédent et de

- 3

Pour calculer cette somme, il suffit d'appliquer la formule.

Formule

La somme

S_{n}

des

n

premiers termes d'une suite arithmétique est égale à

S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n})}{2} \times n

a_{1}

est le premier terme de la somme,

a_{n}

le dernier terme et

n

le nombre de termes.

De quoi a-t-on besoin pour appliquer la formule ?

Le premier terme

a_{1} = 2

et le nombre de termes

n = 335

sont donnés dans l'énoncé.

On doit calculer le dernier terme

a_{n}

Étape 1 : On calcule le dernier terme $a_{n}$ ‍

Il y a

335 - 1 = 334

termes entre le premier terme de la somme et le dernier. La raison de la suite est égale à

- 3

. Donc le dernier terme est la somme du premier terme

2

et de

334 \times - 3 = - 1002

. Donc le dernier terme est

2 - 1002 = - 1000

Donc,

a_{n} = - 1000

Étape 2 : On applique la formule

\begin{aligned} S_{n} & = \frac{(a_{1} + a_{n})}{2} \times n \\ S_{335} & = \frac{(2 + (- 1000))}{2} \times 335 \\ S_{335} & = - 499 \times (335) \\ S_{335} & = - 167 165 \end{aligned}

La réponse

- 167 165

Exercice 3

Calculer la somme $- 50 + (- 44) + (- 38) + … + 2038 + 2044$ ‍.

On réfléchit

C'est la somme des termes d'une suite arithmétique car chacun des termes de la suite est égale à la somme du terme précédent et de

6

Pour calculer cette somme, il suffit d'appliquer la formule.

Formule

La somme

S_{n}

des

n

premiers termes d'une suite arithmétique est égale à

S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n})}{2} \times n

a_{1}

est le premier terme de la somme,

a_{n}

le dernier terme et

n

le nombre de termes.

De quoi a-t-on besoin pour appliquer la formule ?

Le premier terme

a_{1} = - 50

et le dernier terme

a_{n} = 2044

sont donnés dans l'énoncé.

On doit calculer le nombre

n

de termes de la somme.

Étape 1 : On calcule le nombre de termes

La différence entre le dernier terme et le premier terme est égale à

2044 - (- 50) = 2094

. La raison de la suite est

6

\frac{2094}{6} = 349

donc il y a

349

termes entre le premier et le dernier terme. On ajoute le premier terme et on obtient

349 + 1 = 350

termes.

Donc,

n = 350

Étape 2 : On applique la formule

\begin{aligned} S_{n} & = \frac{(a_{1} + a_{n})}{2} \times n \\ S_{350} & = \frac{(- 50 + 2044)}{2} \times 350 \\ S_{350} & = 997 \times (350) \\ S_{350} & = 348 950 \end{aligned}

La réponse

348 950

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Pierre Buatois
Posté il y a il y a 14 jours. Lien direct vers le message de Pierre Buatois «dans le premier exemple l ... »
dans le premier exemple le dernier terme calculé semble etre le terme 276
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(1 vote)
Réponse
- Elisabeth
  Posté il y a il y a 12 jours. Lien direct vers le message de Elisabeth «Bonjour, C'est une erreur ... »
  Bonjour,
  C'est une erreur courante.
  Il y a 275 termes, et non 276, car on commence avec le terme a1, et non a0.
  Pour s'en convaincre, voyons ce qui se passe avec une somme de peu de termes, que l'on peut énumérer.
  Si je calcule la somme des termes jusqu'à a3, en commençant avec a1, j'ai bien 3 termes : a1+a2+a3
  Tandis que si je calcule la somme des termes jusqu'à a3, en commençant avec a0, j'aurai 4 termes : a0+a1+a2+a3
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