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Cours : Calcul intégral > Chapitre 1

Leçon 13: Calculer une intégrale en faisant un changement de variable

Calculer une intégrale définie en faisant un changement de variable

Le principe de la méthode du changement de variable pour calculer une intégrale définie est le même que pour une intégrale indéfinie. Mais dans le cas de l'intégrale définie, il faut tenir compte des bornes d'intégration (ce qui n'avait pas lieu d'être pour une intégrale indéfinie). Prenons comme exemple le calcul de

\int_{1}^{2} 2 x (x^{2} + 1)^{3} d x

2 x

est la dérivée de

x^{2} + 1

, donc la méthode du changement de variable s'applique. On pose

u = x^{2} + 1

, et donc

d u = 2 x d x

. On obtient :

\int_{1}^{2} 2 x (x^{2} + 1)^{3} d x = \int_{1}^{2} (u)^{3} d u

Mais cette égalité est fausse. Les bornes de l'intégrale à calculer sont

1

2

, ce qui signifie que

x

\in

[1, 2]

, Mais, après le changement de variable, on intègre non par rapport à

x

, mais par rapport à

u

, donc les bornes d'intégration ne peuvent pas être les mêmes. Pour s'en convaincre, on peut faire un graphique. L'intégrale à calculer est l'aire du domaine délimité par l'axe des abscisses, les droites d'équations

x = 1

x = 2

et la courbe d'équation

y = 2 x (x^{2} + 1)^{3}

L'aire du domaine délimité par l'axe des abscisses, les droites d'équations

x = 1

x = 2

et la courbe d'équation

y = u^{3}

est-elle la même ?

La variable a changé donc les bornes d'intégration doivent changer. Il faut calculer les valeurs de

u = x^{2} + 1

, lorsque

x = 1

x = 2

Borne inférieure : $1^{2} + 1 = 2$ ‍
Borne supérieure : $2^{2} + 1 = 5$ ‍

Donc,

\int_{1}^{2} 2 x (x^{2} + 1)^{3} d x = \int_{2}^{5} (u)^{3} d u

En mauve sur ce graphique l'aire du domaine délimité par l'axe des abscisses, les droites d'équations

u = 2

u = 5

et la courbe d'équation

y = u^{3}

. Les aires des deux domaines sont égales (ce que l'on peut concevoir même s'il est difficile de le prouver graphiquement !).

On termine le calcul :

\begin{aligned} \int_{2}^{5} u^{3} d u & = {[\frac{u^{4}}{4}]}_{2}^{5} = \frac{5^{4}}{4} - \frac{2^{4}}{4} = 152, 25 \end{aligned}

A retenir : Quand on fait un changement de variable pour calculer une intégrale définie, il faut tenir compte des bornes d'intégration.

Exercice 1

Alice devait calculer

\int_{1}^{5} (2 x + 1) (x^{2} + x)^{3} d x

. Voici son travail :

Étape 1 : On pose

u = x^{2} + x

Étape 2 :

d u = (2 x + 1) d x

Étape 3 :

\int_{1}^{5} (2 x + 1) (x^{2} + x)^{3} d x = \int_{1}^{5} u^{3} d u

Étape 4 :

\begin{aligned} \int_{1}^{5} u^{3} d u & = {[\frac{u^{4}}{4}]}_{1}^{5} = \frac{5^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4} = 156 \end{aligned}

A-t-elle fait une erreur ?

(Choix A)
Elle n'a pas fait d'erreur.
(Choix B)
Elle a fait une erreur à l'étape 1. Elle aurait dû poser $u = 2 x + 1$ ‍.
(Choix C)
Elle a fait une erreur à l'étape 3. Elle n'a pas modifié les bornes d'intégration.
(Choix D)
Elle a fait une erreur à l'étape $4$ ‍. Une primitive de $u^{3}$ ‍ est $3 u^{2}$ ‍

Exercice 2

\int_{1}^{2} 15 x^{2} (x^{3} - 7)^{4} d x = ?

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

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