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La méthode du changement de variable

Cette méthode permet de trouver les primitives d'une fonction composée.
Trouver les primitives d'une fonction f, c'est trouver les fonctions F dont la dérivée est f. Parfois c'est immédiat. Par exemple, la dérivée de x2 est 2x donc 2xdx=x2+C. On trouve de même facilement les primitives de sin(x), ex, 1x, etc.
Mais ce n'est pas toujours aussi simple. Par exemple, quelle serait votre réponse si vous deviez calculer cos(3x+5)dx? Un indice : la réponse n'est pas sin(3x+5)+C.
Dans certains cas, on peut faire un changement de variable.

Calculer une intégrale indéfinie en faisant un changement de variable

Soit à calculer 2xcos(x2)dx. On peut remarquer que 2x est la dérivée de x2, et que la fonction x cos(x2) est la composée de la fonction x x2 suivie de la fonction cosinus. Donc, si on pose u(x)=x2 et w(x)=cos(x), on a :
2xucos(x2u)w=u(x)w(u(x))
Comment procède-t-on ?
On dérive u=x2 par rapport à x, u étant une fonction implicite de x.
u=x2ddx[u]=ddx[x2]dudx=2xdu=2xdx
Donc u=x2 et du=2xdx et on obtient :
=2xcos(x2)dx=cos(x2u)2xdxdu=cos(u)du
On doit maintenant trouver une primitive de cos(u), ce qui est facile. Puis on remplace u par son expression en fonction de x.
=cos(u)du=sin(u)+C=sin(x2)+C
Donc, 2xcos(x2)dx=sin(x2)+C. On peut dériver sin(x2)+C pour vérifier.
A retenir : Les fonctions que l'on peut intégrer en faisant un changement de variable sont toujours des fonctions composées.
  • La dérivée de w(u(x)) est w(u(x))×u(x).
  • On fait un changement de variable quand on peut mettre en évidence une expression de la forme w(u(x))×u(x) dont une primitive est w(u(x)).
A retenir : La variable x est remplacée par la variable u.
Exercice 1.A
Dans ce premier exercice, il s'agit d'utiliser un changement de variable pour calculer :
6x2(2x3+5)6dx=?
Peut-on mettre en évidence une fonction composée u suivie de w, et quelle est l'expression de u ?
Choisissez une seule réponse :

Attention à bien identifier la fonction u et à bien calculer du

C'est le plus important ! Par exemple dans le premier exercice, il faut poser u=2x3+5. Rien ne peut fonctionner si on pose u=6x2 ou u=(2x3+5)6.
A retenir : On doit écrire la fonction dont on cherche les primitives sous la forme w(u(x))×u(x). C'est ce qui doit guider le choix de u.
Attention aussi en calculant du, il ne faut pas faire d'erreur dans la dérivée de u.
Exercice 2
Gabriel devait calculer cos(5x7)dx. Voici sa réponse :
cos(5x7)dx=sin(5x7)+C
Sa réponse est-elle exacte ? Sinon, quelle erreur a-t-il fait ?
Choisissez une seule réponse :

Attention à ne pas confondre w(u(x)) avec w(x).

A ne pas oublier : Une primitive de la fonction w n'est pas aussi une primitive de la fonction composée u suivie de w.
Si W est une primitive de w, il est certain que :
w(u(x))dxW(u(x))+C

On ne peut utiliser cette méthode que si l'expression de la fonction à intégrer peut s'écrire sous la forme u(x)×w(u(x))

Par exemple, dans le calcul de x2cos(2x)dx, une erreur serait de penser que puisque 2x est la dérivée de x2, on peut faire un changement de variable. Ici, pour que le changement de variable fonctionne, il faudrait que x2 soit la dérivée de 2x. Ce n'est pas le cas donc la méthode du changement de variable n'est pas applicable.

Parfois il faut utiliser l'artifice de multiplier et diviser par une même constante

Si on doit calculer sin(3x+5)dx, on voit tout de suite que l'expression de la fonction à intégrer est de la forme w(u(x)), mais pour pouvoir appliquer la méthode, il faudrait qu'elle soit de la forme u(x)w(u(x)).
Mais si u(x)=3x+5, alors u(x)=3. Il suffit d'utiliser l'artifice de multiplier et de diviser par 3 :
sin(3x+5)dx=133sin(3x+5)dx
Et le fait de multiplier par 13, puis par 3 permet d'appliquer la méthode.
Voici le calcul :
=13sin(3x+5u)3dxdu=13sin(u)du=13cos(u)+C=13cos(3x+5)+C
A retenir : Il faut parfois multiplier et diviser l'expression de la fonction à intégrer par une même constante.
Exercice 3
(2x+7)3dx=?
Choisissez une seule réponse :

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

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  • blobby green style l'avatar de l’utilisateur Louis M
    « Une fonction n'admet toute une famille de primitives qui diffèrent d'une constante et non un primitive unique. »

    La phrase est dite bizarrement, mais surtout, est-ce que ce n’est pas le cas d’une intégrale, qui est unique pour chaque fonction et où la constante n’apparaît jamais ?
    (1 vote)
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    • blobby green style l'avatar de l’utilisateur Elisabeth
      En effet, cette phrase n'est pas très claire, mais je ne sais pas d'où elle vient. Pas de cet article, en tous cas.
      Pour être plus clair, on pourrait dire : "Une fonction n'admet pas une unique primitive, mais une famille de primitives qui diffèrent d'une constante".
      Par ailleurs, concernant l'intégrale : si la constante n'y apparaît jamais, c'est parce que l'intégrale est calculée par la différence entre deux valeurs de la primitive. La constante qu'on aurait choisie pour la primitive tombe donc.
      Ou, vu autrement, une intégrale est une mesure d'aire. Celle-ci n'est pas définie à une constante près. Elle a une valeur unique.
      (1 vote)
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