Valeurs propre pour une matrice de 3x3

alors dans la vidéo précédente on avait vu comment trouver les valeurs propres pu les vecteurs propres associés à une matrice de 2 et dans cette vidéo on va essayer de faire la même chose dans draka qu'est un petit peu plus compliqué parce qu'on va prendre une matrice 3,3 ce qu'on avait vu dans les vidéos précédentes c'est que lambda est une valeur propre est une valeur propre propre si et seulement si si et seulement si le déterminant de la matrice lambda identité lambda identité - za est égal à zéro et on va utiliser ici cette recette cette équivalence pour trouver les valeurs propres de cette matrice a ici donc la première chose à faire ici on est dans r 3 du coup lambda fois l'identité c'est égal à quoi c'est égal à la matrix ou en fait sur la diagonale au lieu d'avoir des as on va voir des landes à et partout ailleurs on va avoir des héros donc on va avoir lambda 000 lambda 000 lambda sacema matrice lambda fois l'identité d'un r3 et nous ce qui nous intéresse c'est la matrice lambda fois l'identité - za cette matrice là c'est la matrice où je vais avoir du coup lambda mois -1 ça fait lambda plus à lambda +1 0 - 2 - 2 0 - 2 - 2 0 - 2 - 2 lambda -2 lambda - 2 0 - 1 + 1 0 - 2 0 - 1 1 et landes à -2 lambda - 2 donc ça c'est matrice lambda fois l'identité - za alors dans r2 c'était assez facile de le calculer le déterminant d'une matrice deux par deux mais le déterminant d'une matrice 3 par 3 c'est moins triviale on va utiliser une méthode on va recopier les deux premières colonies si à côté de la matrice et que si je fais ça je vois lambda + 1 - 2 - 2 - 2 lambda - 2 et 1 et en fait pour obtenir le déterminant je vais dire que c'est le produit des coefficients sur ce diagonale la plus le produit des coefficients sur cette diagonale la plus le produit des coefficients sur cette diagonale la moins le produit des coefficients sur cette diagonale la moins le produit des coefficients sur cette diagonale la moins le produit des coefficients sur cette diagonale l'a donc tout ce qui me reste à faire c'est faire le calcul donc qu'est-ce que j'ai j'ai lambda +1 donc sur cet agrès ag l'un des plus sains fois lambda moins deux fois lambda moins deux fois lambda moins deux fois lambda -2 sur cette diagonale âgés moins deux fois un fois moins 2 du coup moins deux fois moins deux ça fait plus 4 + 4 sur cette diagonale là j'ai la même chose j'ai moins de fonds - 2 du coup ça fait plus 4 et du coup ensuite je vais avoir à moins - quoi - moins deux fois moins deux coups moins quatre fois lambda -2 du coup moins quatre fois lambda -2 ensuite sur cette diagonale ag - da plus à moi lambda +1 et ici j'ai moins quatre fois l'an damoiseaux - 2 - 4 fois lambda -2 lambda -2 et du coup ce que je veux c'est que ça se soit égal à zéro bon alors là il faut maintenant que je développe un peu tout ça donc ici qu'est ce que je vais avoir j'ai gardé le nombre d'applis à un facteur je vais développer la deuxième partie donc je vais voir lambda plus un facteur de lampes dakar et lambda carré - 4 lambda -4 lambda +4 ensuite ici je vais avoir plus 8 - 4 lambda - donc plus suite ici moins quatre fois moins deux faits +8 de suite - lambda - 1 - 4 lambda +8 égal à zéro donc j'ai continué qu'est ce que j'ai ici donc ici je vais développer donc je vais avoir si je multiplie lambda par tout ça je vais avoir lambda cube lambda cube - 4 lambda carré - +4 lambda +4 lambda plus l'ombre dakar et nombre de cas et -4 lambda +4 et du coup ici qu'est ce qui me reste huit donc coulé par dont les termes ont lambda je vais avoir moins quatre honda - lambda - catane dan coup ça fait moins neuf lambda ou 1,9 lambda et les termes ici je vais avoir huit plus 8 - un plus suite donc ça fait plus 23 +23 égal à zéro bien du coup la donne est un objet du coup lambda cubes en langue dakar et j'ai moins quatre lampes d'accueil plus l'homme dakar et du coup ça fait moins trois langues dakar et -3 lambda carré les termes en lambda g + 4 lambda -4 lambda du coup ça s'annule il me reste moins neuf landes à -9 lambda et les termes constants g + 4 +23 du coup ça fait plus 27 +27 égal à zéro donc ça c'est ce qu'on appelle le polynôme caractéristiques de ma batterie ça c'est du coup une équation du troisième degré c'est pas facile forcément à résoudre mais ce qu'on sait c'est que les racines de cette de cette équation sont forcément des diviseurs de 27 du coup qu'est ce qu'on a on a 1 3,9 ou 27 du coup ce qu'on peut faire c'est juste essayer ses racines et voir si elle fonctionne donc si on prend comme racine 1 qu'est ce qu'on a on va avoir un occupe ça fait 1 - 3 x 1 au carré du coup ça fait moins 3 - 9 x 1 du coup ça fait moins 9 + 27 s à ces différentes 0 du coup un départ racines de cette équation si on prend trois qu'est-ce qu'on a alors 3 occupe ça fait 27 - trois fois neuf du coup ça fait moins 27 plus - 9 x 3 du coup ça fait moins 27 +27 du coup 3 donc ça fait 27 - 27 - 27 +27 ça fait bien zéro donc 3 et bien racines de de cette équation alors on va on peut du coup factoriser par land à moins 3 du coup ça fait lambda -3 et alors pour savoir ce qui me reste ça peut paraître un peu compliqué mais qu'est ce qu'on va voir on va avoir en interne en lampe dakar est forcément du coup si on a un terme en lambda carré lambda carré donc ça fait lambda cube ici et ça fait moins trois lambda et du coup il reste plus de termes en lambda carré et du coup forcément on n'a pas de terme en lambda parce qu' il ferait apparaître interne lambda cahiers du coup ce qui reste c'est interne constant et du coup ce terme constant à quoi ils égalent penser qu'on va voir lambda fois ce thème constant qui va être égal à moins d'un flat du coup ça veut dire que cette inconstance et -9 voilà et du coup on a bien longue d'à cube issy moins trois langues dakar est ici moins neuf lambda ici moins trois fois moins 9 du coup savez +27 ici du coup on a bien les deux équations qui sont égales et du coup ça c'est égal à zéro et maintenant ce qui nous restait à définir ce terme ici ça c'est assez simple j'ai du coup lambda moins trois facteurs 2 et lambda cargo neufs ça fait lambda moins trois fois lambda +3 donc lambda moins trois fois lambda +3 égal à zéro et du coup ça y est on a réussi à obtenir ce qu'on voulait on a réussi à obtenir nos valeurs propres les valeurs propres de la matrice hat sont lambda égale à trois et on voit qu'on le voit apparaître deux fois ou lambda égal moins 3 du coup ce qu'on a vu c'est que même si c'était un peu plus lourd en terme de calcul on est capable sans trop de problème de trouver les valeurs propres de demain matrix dans r3 du coup avec une matrice un peu plus compliqué que ce qui se passe dans les rangs deux voilà j'espère que tu as bien compris ce point là et puis je te dis à bientôt pour la prochaine vidéo