Preuve du théorème de Green (partie 2)

alors je vais reprendre le chemin de la dernière fois celui qu'on avait utilisé dans la dernière vidéo donc je vais dessiner ça comme ça voilà un axe ça c'est l'axé des x ça c'est l'accès y est on avait pris un chemin fermé alors j'ai essayé de le dessiner à peu près comme la dernière fois voilà c'était ce chemin là donc je vais essayer de le redessiner à peu près 1 voilà donc ces jeux part de ça ça fait quelque chose comme ça c'était un chemin fermé voilà à peu près bon on va dire que ça c'est le chemin c'est exactement le même chemin que celui qu'on avait utilisé dans la dernière vidéo donc c'est exactement le même chemin qui s'y est bon je vais préciser le sens de parcours voilà on le parcourt dans le sens antihoraire et c'est donc le chemin c'est qu'on avait utilisé la dernière fois alors je vais te donner aussi un chant vectorielle la dernière fois on avait pris un champ vectorielle qui avait uniquement une composante selon le vecteur y cette fois ci on va prendre un champ vectorielle que je vais appeler q2 x y et qui va être en fait un champ vectorielle dirigée uniquement selon le vecteur j donc avec une seulement une composante selon de vecteurs j ai donc je vais m'exprimer comme sa sécu majuscule de xy dans le sens du vecteur j ai bon dans cette vidéo ce qu'on va essayer de faire c'est de calculer l'intégrale curviligne le long du chemin c'est du chant vectorielle qu scalaires dr donc on va trés on va calculer le travail du chant vectorielle qu au long de ce chemin c'est ce chemin fermé c'est alors on avait vu ça on l'a vu plusieurs fois dans plusieurs vidéos que lever le vecteur déplacement là différentiel dr on peut l'écrire comme des x x idx dans le sens du vecteur y plus d y dans le sens du vecteur j ai donc du coup on peut réécrire l'aide notre intégral curviligne en remplaçant en calculant le produit scalaires qu scalaires dr avec les composantes selon les vecteurs y est j et en fait on va obtenir que c'est l'intégrale le long du chemin c'est un donc je vais écrire comme ça toujours 2 alors en fait celle et le produit des composantes selon vectrices ce produit là et nulle puisque le champ vectorielle qu n'a pas de composante selon le vecteur i et puis il nous reste donc le produit des composantes selon le vecteur gic est qu jusque hulin de xy fois d y voilà alors maintenant partir de cette expression là on va essayer de calculer cette intégrale curviligne sans passer par la variable t1 la troisième variable t mais en fait on va procéder exactement de la même manière que dans laden dans la vidéo précédente en fait on va faire exactement le même raisonnement le même travail que dans la vidéo précédente de simplement ici on va considérer la variable y alors que dans la vidéo précédente on avait considéré la variable x puisque le champ vectorielle était dirigée uniquement dans le sens des x dans le sens parallèlement à l'axé des x alors ici on veut on peut se dire bon quelles sont les valeurs minimales et maximales de y sur notre chemin donc la valeur minimale on va dire que c'est celle là par exemple c'est assez celle-là à peu près donc ça c'est une valeur que j'appelle à et la valeur maximale elle est ici et je l'appelle b voilà et donc comme ce qu'on a fait dans la dernière vidéo finalement je peux découpé mon chemin c'est en deux chemins alors j'ai un premier chemin qui va être je peux je peux le faire partir d'ici donc c'est le point d'ordonner y égal à et je parcours le chemin c'est dans le sens antihoraire jusqu'à arriver à ce point là d'absys d'ordonner pardon y et galp et voilà ça c'est un premier chemin que j'appelle c1 et puis j'ai un deuxième chemin qui consiste à prendre à partir de ce point là de d'ordonner y et galbées et de parcourir le chemin c'est d'origine jusqu'à cette valeur-là y égal à et ce chemin là je vais l'appeler ses 2 donc je peux déjà commencé par découpé mon intégral intégral curviligne je vais leur écrire comme étant l'intégrale le long du chemin c'est un de q2 x grec d y plus l'intégrale le long du chemin c'est 2-2 le cul de xy des y ça c'est uniquement l'analogue de la relation de chasles 1 pour les intégrales alors maintenant ce qui se passe exactement comme la dernière vidéo c'est que en fait si je regarde cette porte sur cette portion du chemin c'est un le chemin c1 et bien en fait je peux je peux dire que ce chemin c'est une courbe standard et donc elle va avoir une équation qui va être en fait x x va être une fonction de y on peut regarder si tu peux imaginer d'avoir tourné pour que cet axe là soit en bas et avoir lax dx pointe en pointant vers le haut donc ça sera peut-être plus facile pour toi de te rendre compte que cette courbe l'a finalement c'est quelque chose qui va être du style x égale x12 y voilà et de la même manière on a le chemin ces deux biens c'est une courbe standard aussi qui va avoir une équation aussi du genre x est une fonction de y donc on va dire que c'est x égale x-22 y voilà alors du coup je peut réécrire ces intégrales là comme ça ici le long du chemin c1 je vais voir l'intégrale alors y va de a à b donc ça va être l'intégrale de a à b de cul alors au lieu d'écrire q2 xy ici je vais remplacer x par son expression aux fonctions de y donc je vais écrire q2 x12 y x e y pardon voit la fois des grecs plus la deuxième partie donc là c'est l'intégrale c'est le long du chemin ces deux donc y va varier entre b et a donc c'est l'intégrale pour y qui va de baa2 qu est ici de la même manière je vais remplacer je suis le long du chemin ces deux donc les x peut s'exprimer en fonction d'eux y comme ça c'est x-22 y donc je vais écrire qu ii x2 2 y y fois d y voilà alors je vais je sais pas si tu te souviens ce qu'on a fait dans les vidéos précédentes mais là ce que je vais faire s'est renversée déjà cessé de bornes d'intégration puisque ea est plus petit que ben est donc finalement je vais écrire ça comme ça et je vais écrire ça je vais écrire - l'intégrale de saab et de q2 x 2 y y donc là j'ai juste renverser les bornes de l'intégration ce qui me donne un signe - ici alors maintenant je peux réunir les deux expressions sous le même signe d'intégrale donc j'ai l'intégrale pour 2 ab alors je vais mettre des crochets de q2 x 1,2 y y - q 2 x 2 2 y y fois d y voilà alors maintenant ce qu'est ce qui est là entre crochets bon c'est la 7 sont décrochés qui sont comme des parenthèses j'aime y décrocher pour ce soit plus visuel mais c'est exactement la même fonction que les parenthèses c'est pas les crochets d'évaluation par contre c'est pas les crochets qu'on utilise quand on évalue une fonction entre deux valeurs mais par contre là ce qu'on va faire c'est exactement comme dans la dernière vidéo on va réécrire ça comme ça c'est l'intégrale de a à b et puis cette différence qui est là en fait je vais je vais changer de couleur je vais l'écrire comme ça c'est la fonction qu 2 x y évaluer entre les valeurs alors c'est la borne supérieure cx1 de y donc c'est x égale x 1,2 y y et puis la borne inférieure cx égale x-22 y voilà et du coup ça je multiplie par des y là tu peux retourner voir la vidéo précédente ainsi tu te souviens pas très bien là j'ai juste ce j'emploie cette notation là qui est celle compte qu'on utilise quand on calcule la primitive d'une fonction et qu'ensuite on leva lui entre deux valeurs on note comme ça avec cette expression entre crochets comme ça en autant ici les deux bornes d'évaluation qui sont les bornes de l'intégration exactement de la même manière que la dernière fois on peut remarquer que si je prends si je suppose que la dérivées partielles de paix je vais le faire ici si je suppose que la dérive et part suhel de cul pardon par rapport à x existe et bien quand je fais calculé l'intégrale entre les valeurs x2 2 y y et x2 et x1 pardon de y est bien par rapport à x 1 mais bien donc pour calculer cette intégrale là il faut que je calcule une primitif de la dérivées partielles de cul par rapport à x donc ça ça me donne qu de xy que je dois évaluer entre les valeurs x-22 y est x12 y donc finalement j'obtiens exactement ça c'est à dire que la fonction qu de xy évalué entre les valeurs x égale x-22 y est x égale x12 y voilà donc cette expression là qui est en cours entre crochets en fait c'est l'intégrale ii x2 de y à x 1,2 y de la dérivées partielles de cul par rapport à x voilà alors je vais pouvoir réécrire sa du coup on voit apparaître une intégrale double comme la dernière fois donc je vais je monte mais pas trop donc je verrai écrire ce que j'étais en train de faire un donc je calcul intégral curviligne de cul scalaires dr le long du chemin c est finalement j'obtiens que c'est alors l'intégrale de a à b donc ça c'est la première expression la première intégrale et à l'intérieur je vais mettre 7 7 intégrale ici un donc c'est l'intégrale pour x qui va 2 x 1 2 x 2 x 2 2 y pardon à x qui va qui est égal à x12 y de la dérivées partielles de cul par rapport à il ya x x dx voilà alors là je peux faire la même parenthèse que la dernière fois si tu veux te convaincre que cette intégrale là est bien celle là eh bien tu peux commencer par calculer cette expression c'est intégral intérieur intégral qui étaient à l'intérieur ici tu vas trouver cette expression là et ensuite tu calcules cette intégrale ait eu en fait tu reviens effectivement à ce qu'on a écrit ici c'est l'intégrale curviligne le long du chemin c2q de xy fois d y voilà donc c'est bien l'intégrale de notre champ vectorielle le long du chemin c1 alors on obtient finalement un résultat tout à fait similaire à ce qu'on a obtenu dans la dernière vidéo alors on peut donner la même interprétation donc c'est ce résultat là l'expression de l'intégrale curviligne de notre champ vectorielle le long du chemin c'est comme cette intégrale double qui hélas est en fête alors si notre chance est une condition un que doit vérifier notre champ vectorielle la dérive et de cul par rapport à x doit exister un donc dans ces cas là on a on peut dessiner un repère je dessinais ça dans un repère trois dimensions donc ici gx ici j' y ait ici j'ai z voilà et alors j'ai une fonction qui est celle là la dérive et de cul par rapport à x si on suppose qu'elle existe c'est une fonction donc en fait elle va me décrire une surface surface comme ça voilà ça c'est la surface d'équations z égale la dérivées partielles de cul par rapport à x voilà et puis du coup ce que je fais c'est calculé l'intégrale en fait au dessus de la région qui est délimité par le chemin c'est un donc le chemin c'est je le dessine ici donc au dessus de cette région là je devais calculer l'intégrale de la fonction dérivées partielles de cul par rapport à x qui va revenir à calculer le volume de ce solide là qui a pour base le domaine dont le contour et le chemin saint le domaine renfermé par le chemin c'est on peut dire et le comme toi la fonction dernier par celle de cul par rapport à x c'est exactement comme ça qu'on peut voir les choses donc la dernière fois on avait appelé en fait je fais une intégrale au dessus de cette région là et la dernière fois on l'avait appelé m donc finalement j'obtiens que la dérive et l'intégrale pardon curviligne le long du chemin c'est alors je vais l'écrire plus tôt avec l'expression cette expression là l'intégrale curviligne le long du chemin c2q de xy des y c'est quelque chose que cette intégrale du sang vectorielles et bien c'est l'intégrale double au dessus de la région air de la fonction dérivées partielles de cul par rapport à y fois des x fois d y est c'est exactement ce qu'on fait quand on calcule et une intégrale double 1 on doit être déterminé le la frontière de notre domaine air delà de la région air sur laquelle on intègre donc tu peux aller revoir les vidéos sur les intégrales double aussi tu te souviens pas très bien de ça et donc effectivement on obtient cette intégrale double au dessus de la région air de la fonction day les partiels de cul par rapport à y cette région là en fait on la définit comme ça là la borne relais la bordure la frontière à inférieur c'est cette cette courbe là cette partie là du chemin c'est qu'on a expliqué qu'on a exprimé par l'équation x-22 y 1 x égale x2 2 y et puis la bordure supérieure et puis l'autre partie de la bordure de la frontière de mon domaine c'est cette courbe là qui est celle qu'on a nommé x égale x 2 x 1 2 y pardon alors d'abord on calcule l'intégrale pour x qui varient entre ces deux courbes l'a1 donc ça me donne exactement 7 cette expression là que je kg écrit en rose et ensuite on calcule l'intégrale du résultat de cette intégrale là qu'on vienne calculée entre les valeurs a et b qui sont ces valeurs là des valeurs minimales de a-2 y voilà donc c'est exactement ça qu'on fait donc c'est effectivement exactement une intégrale double au dessus de cette région air voilà alors bon maintenant je vais passer au cas général on va essayer d'établir la formule de krynn théorème de green et donc mais pour ça je vais rappeler enfin je vais reprendre les deux résultats qu'on a défini dans cette vidéo est dans la dernière heure dans les airs dernière vidéo on avait trouvé cette expression là c'était un champ vectorielle paix de xy toujours dirigé dans le sens du vecteur y donc je vais le mettre ici voilà ça c'est le résultat de la vidéo précédente et puis ça c'est le résultat de la vidéo de cette vidéo là donc c'est l'intégrale curviligne d'un champ vectorielle le long d'un chemin fermé c'est d'un champ vectorielle toujours dirigé dans le sens du vecteur j'y vois là alors maintenant je vais prendre un vecteur un champ vectorielle tout à fait général je vais l'appeler f et ça va être f2 xy évidemment et en fait je vais le définir comme ça de manière très générale je veux dire que cp2 xy dans le sens du vecteur y plus qu de xy ont dans le sens du vecteur j alors évidemment tu peux très bien te dire que c'est là tu peux considérer ce f comme la somme des deux champs vectorielle que j'ai étudié dans cette vidéo est dans la vidéo précédente mais en fait c'est une expression tout à fait général ça peut être n'importe quel champ vectorielles et puis je vais prendre un chemin donc je vais dessiner un chemin fermé donc je vais prendre un chemin fermé ça peut être n'importe quel chemin encore encore une fois je dessine et un chemin fermé comme ça voilà que j'appelle c est que je parcours dans le sens antihoraire comme d'habitude voilà et je vais essayer de calcul est évidemment l'intégrale curviligne le long de ce chemin c'est du sang vectorielle f donc j'ai essayé de calculer f scalaires dr voilà alors bon on sait on a déjà vu on l'a fait dans chaque vidéo on sait que le vecteur de la différentiel dr on peut exprimer comme des x x x y dans le sens du vecteur y plus d y dans le sens du vecteur j ai du coup on peut exprimer le produit scalaires fkl rdr comme ça donc l'on en fait je et réécrire l'intégrale curviligne mais en remplaçant cette expression là par le produit scalaires en fonction des composantes selon lever les vecteurs y est j donc j'ai déjà avoir le produit de cette composante par cette composante donc cp 2 x y dx plus le produit de cette composante par cette composante c'est à dire qu 2 x y d y voilà alors maintenant évidemment je peux utiliser la linéarité de l'intégrale jeu peut réécrire ça comme ça c'est l'intégrale curviligne le long du chemin c2pay de xy dx plus l'intégrale curviligne le long du chemin c'est de q2 xy d y je pense que tu vois très bien là où je veux en venir alors effectivement la meinau cette expression là l'intégrale curviligne le long du chemin c2pay de xy dx c'est exactement ce qu'on a calculé dans la vidéo précédente c'est cette expression là et puis c'est un cette partie là l'intégrale curviligne le long du chemin c2q de xy des y c'est ce qu'on vient de calculer dans cette vidéo c'est cette expression qui est ici donc finalement je peux remplacer ces expressions par les résultats qu'on a eus dans cette vidéo est dans la vidéo précédente donc déjà je vais pouvoir écrire que c'est l'intégrale sur la région air toute la région est requis et alors la région rc cette région lac et dont le contour et le chemin c'est donc c'est cette ce que je viens de hachures est ici en jaune alors s'est il faut pas que j'oublie 1 - ici donc je vais le mettre ici c'est l'intégrale sur la région r2 - là dérivées partielles de paix par rapport à y d y dx ça c'est cette expression là cette partie là et puis celle là je vais la remplacer par cette expression que j'ai calculé dans cette j'ai établi dans cette vidéo donc c'est l'intégrale sur la région air de la dérivées partielles de cul par rapport à x dxp y voilà alors les là il ya une chose que tu importante il faut qu'on sent il faut s'en souvenir des grecs des x et dx10 y c'est exactement la même chose 1d x d y est d y dx c'est la même chose en fait on peut très bien appeler ça c'est ce qu'on fait souvent c'est des as c'est un petit élément de surface dans notre intervalles dans notre région m donc je pourrais remplacer ici tout sa part d'ea je vais laisser comme ça et donc maintenant ce que je peux faire c'est réécrire cette cette expression là mais en réunissant tous sous le même signe de double intégral donc je vais avoir l'intégrale sur la région r alors je vais mettre d'abord la dérive et partielle de cul par rapport à y par rapport à x pardon - là dérivées partielles de paix par rapport à y et puis ça je vais le x dx d y ait favorisé cette expression là c'est de l'expression des grecs des x ici qu'est -ce qui est la même dans les deux termes alors voilà ça c'est le résultat fondamental très important de cette vidéo c'est le résultat de cette vidéo je vais leur écrire ici c'est ce qu'on appelle la formule de green c'est la formule de green est en fait cette formule là donc je vais là récapituler ici c'est elle dit que l'intégrale curviligne le long du chemin c'est du chance vectorielle f scal rdr qui cette expression la paix de xy dans le sens directory plus qu de xy dans le sens du vecteur j ai bien c'est l'intégrale le sur la région air sur le domaine air de la dérivées partielles de cul par rapport à x - là dérivées partielles de paix par rapport à y x dx d y voilà ça c'est vraiment la formule importante alors pourtant rappelé tu peux te dire bon j'ai un champ ce qu'alain chant vectorielle dont la composante selon le vecteur icp je prends ça dérivés par rapport à y je prends l'opposé de ses dérivées partielles par rapport à y et puis je prends là j'ai une composante selon le vecteur gic est qu ai je prends ça dérivés par rapport à x voilà donc tu peux t'en rappeler de cette manière là alors évidemment il faut se souvenir que pour pouvoir appliquer cette formule groupe de green effectivement notre champ vectorielle f doit avoir une dérivées partielles de paix par rapport à y ait de cul par rapport à x ça c'est important c'est une condition fondamentale parce que c'est ces dérives et là sinon n'existe pas et on peut pas appliquer la formule et puis ce qui est important aussi c'est de bien comprendre que c'est une manière de relier une intégrale curviligne le long d'un chemin c'est à une intégrale double qui concerne l'intérieur de ce chemin de ce chemin c'est un donc la région dont le contour et le chemin c'est alors il ya un corollaire qui est intéressant de cette formule de gris noir on va le voir ici donc on sait on a déjà vu dans la vidéo précédente que si on a un champ vectorielle f qui est conservative donc si f des conservatif alors l'intégrale curviligne le long de n'importe quel chemin fermé ses 2 f scalaires dr nuls donc ça veut dire que cette expression là et nulle ce qui veut dire que forcément puisque ça c'est vrai selon n'importe quel chemin r en fait cette cette expression là qui est à l'intérieur on doit doit être nul aussi donc corollaire important c'est que si le chant vectorielles et conservatif alors là dérivées partielles de cul par rapport à x - là dérivées partielles de paix par rapport à y est bien ça ça doit être égale à zéro alors on peut écrire ça d'une manière encore plus percutante peut-être c'est que la dérivées partielles je vais le faire en rose la dérivées partielles de cul par rapport à x est égale à la dérive et partielle de paix par rapport à y donc ça c'est un corollaire important quand on a un champ vectorielle conservatif charles vectorielle f27 formula 1 p de xy dans le sens du vecteur y plus qu de xy dans le sens du vecteur j si le chant vectorielles et conservatif est bien là dérivées partielles de cul par rapport à x est égale à la dérive et partielle de paix par rapport à y donc ça c'est un corollaire assez important et utile voilà donc je voulais quand même en parler dans cette vidéo le résultat important de pour cette vidéo c'est quand même la formule de green donc dans les prochaines vidéos c'est surtout là dessus qu'on va travailler