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Simplifier une fraction rationnelle

Voici des fractions rationnelles qui ne sont pas aussi faciles à simplifier que dans la leçon précédente.

Prérequis :

Une fraction rationnelle est le quotient de deux polynômes. Une fraction rationnelle est simplifiée si son numérateur et son dénominateur n'ont pas de facteur commun.

Le sujet traité

Nous vous proposons des exercices d'entraînement un peu plus difficiles que dans la leçon précédente.

Exemple 1 - Simplifier  10x32x218x

1 - On factorise les deux termes de la fraction
Le numérateur est un monôme donc on peut aussi le factoriser.
10x32x218x=2×5×x×x22×x×(x9)
2 - On écrit les conditions
Les conditions sont x0 et x9.
3 - On simplifie
2×5×x×x22×x×(x9)=2×5×x×x22×x×(x9)=5x2x9
4 - La fraction simplifiée
La fraction simplifiée est :
5x2x9 si x0

A retenir

Cet exemple montre que si l'un des termes de la fraction rationnelle à simplifier est un monôme, il faut le factoriser.

À vous !

1) 6x212x49x3 est égale à :
Choisissez une seule réponse :

Exemple 2 - Simplifier  (3x)(x1)(x3)(x+1)

1 - On factorise les deux termes de la fraction
Il faut remarquer que 3x est le produit de x3 par 1.
=(3x)(x1)(x3)(x+1)=1(3+x)(x1)(x3)(x+1)=1(x3)(x1)(x3)(x+1)
2 - On écrit les conditions
Les conditions sont x3 et x1.
3 - On simplifie
=1(x3)(x1)(x3)(x+1)=1(x3)(x1)(x3)(x+1)=1(x1)x+1=1xx+1
Il n'est pas obligatoire d'effectuer le produit par 1 au numérateur, mais on le fait habituellement.
4 - La fraction simplifiée
La fraction simplifiée est :
1xx+1 si x3

A retenir

x3 et 3x sont opposés car 1×(x3)=3x.
Dans cet exemple, on voit que le quotient de 3x par x3 a été remplacé par -1.
De façon générale, on remplace le quotient de ab par ba par 1, mais il ne faut pas oublier d'ajouter la condition ab.

À vous !

4) La fraction rationnelle (x2)(x5)(2x)(x+5) est égale à
Choisissez une seule réponse :

3) Simplifier 1510x8x312x2.
si x
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

A vous !

4) La fraction rationnelle 3x15x26x est égale à :
Choisissez une seule réponse :

5) Simplifier 3x315x2+12x3x3.
si x
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

6) La fraction rationnelle 6x212x6x3x2 est égale à :
Choisissez une seule réponse :

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  • blobby green style l'avatar de l’utilisateur DH PM
    Bonsoir!

    Je souhaite avoir votre aide sur un exercice svp.

    Est-ce qu'on peut simplifier (X+1)(X+3)/(X-1)?
    Je vous remercie pour votre disponibilité.
    Je vous souhaite une bonne fête.

    A bientôt
    M.
    (2 votes)
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  • blobby green style l'avatar de l’utilisateur mark
    Alors là ? On rajoute une multiplication par -1 comme ça par magie pour simplifier ?
    exercice 4) : (x-2)(x+5) / (2-x)(x-5)

    Dans la correction on ajoute une multiplication par -1 :

    -1(x-2)(x+5) / (x+2)(x-5) ensuite cela peut être simplifié en barrant les deux -x+2, mais d'où sort ce -1 ?
    Et derrière x+5 est également multiplié par -1 ?
    (1 vote)
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    • blobby green style l'avatar de l’utilisateur Elisabeth
      On montre juste avant que x-3 est l'opposé de 3-x
      Autrement dit, (x-3)=(-1)(3-x)
      Ici, on a fait la même chose : on a (x-2)/(2-x). Le numérateur est l'opposé du dénominateur, on peut écrire, à la place de x-2 : (-1)(2-x).
      Puis simplifier les deux facteurs (2-x). Il reste ce (-1), qui multiplie ce qui reste, donc (x-5)/(x+5)
      (2 votes)
  • piceratops tree style l'avatar de l’utilisateur ASSILEM666
    Bonjour
    J'ai besoin d'une explication sur l'exercice 4 svp.
    En trouvant le facteur commun 2-x j'en arrive à -1(x-5)/x+5
    J'ai ensuite distribué le -1 pour arriver à -x+5/x+5 et j'ai réduit et ça donne donc -1 ? Ou bien on ne peut pas car ce n'était pas une multiplication après le signe négatif ?
    d'avance merci je ne sais pas si ma question est claire
    (1 vote)
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