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Cours : 3e année secondaire > Chapitre 3 

Leçon 5: Fractions rationnelles : Définitions et simplification
Mathématiques
3e année secondaire
Algèbre : Factorisation de polynômes et fractions rationnelles
Fractions rationnelles : Définitions et simplification
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Simplifier une fraction rationnelle

Google Classroom
Voici des fractions rationnelles qui ne sont pas aussi faciles à simplifier que dans la leçon précédente.

Prérequis :

Une fraction rationnelle est le quotient de deux polynômes. Une fraction rationnelle est simplifiée si son numérateur et son dénominateur n'ont pas de facteur commun.

Le sujet traité

Nous vous proposons des exercices d'entraînement un peu plus difficiles que dans la leçon précédente.

Exemple 1 - Simplifier  10x32x2−18x

1 - On factorise les deux termes de la fraction
Le numérateur est un monôme donc on peut aussi le factoriser.
10x32x2−18x=2×5×x×x22×x×(x−9)
2 - On écrit les conditions
Les conditions sont x≠0 et x≠9.
3 - On simplifie
2×5×x×x22×x×(x−9)=2×5×x×x22×x×(x−9)=5x2x−9
4 - La fraction simplifiée
La fraction simplifiée est :
5x2x−9 si x≠0

A retenir

Cet exemple montre que si l'un des termes de la fraction rationnelle à simplifier est un monôme, il faut le factoriser.

À vous !

1) 6x212x4−9x3 est égale à :
Choisissez une seule réponse :

Exemple 2 - Simplifier  (3−x)(x−1)(x−3)(x+1)

1 - On factorise les deux termes de la fraction
Il faut remarquer que 3−x est le produit de x−3 par −1.
=(3−x)(x−1)(x−3)(x+1)=−1(−3+x)(x−1)(x−3)(x+1)=−1(x−3)(x−1)(x−3)(x+1)
2 - On écrit les conditions
Les conditions sont x≠3 et x≠−1.
3 - On simplifie
=−1(x−3)(x−1)(x−3)(x+1)=−1(x−3)(x−1)(x−3)(x+1)=−1(x−1)x+1=1−xx+1
Il n'est pas obligatoire d'effectuer le produit par −1 au numérateur, mais on le fait habituellement.
4 - La fraction simplifiée
La fraction simplifiée est :
1−xx+1 si x≠3

A retenir

x−3 et 3−x sont opposés car −1×(x−3)=3−x.
Dans cet exemple, on voit que le quotient de 3−x par x−3 a été remplacé par -1.
De façon générale, on remplace le quotient de a−b par b−a par −1, mais il ne faut pas oublier d'ajouter la condition a≠b.

À vous !

4) La fraction rationnelle (x−2)(x−5)(2−x)(x+5) est égale à
Choisissez une seule réponse :

3) Simplifier 15−10x8x3−12x2.
si x≠
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

A vous !

4) La fraction rationnelle 3x15x2−6x est égale à :
Choisissez une seule réponse :

5) Simplifier 3x3−15x2+12x3x−3.
si x≠
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

6) La fraction rationnelle 6x2−12x6x−3x2 est égale à :
Choisissez une seule réponse :

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  • blobby green style l'avatar de l’utilisateur DH PM
    Posté il y a il y a 7 ans. Lien direct vers le message de DH PM «Bonsoir! Je souhaite avo ... »
    Bonsoir!

    Je souhaite avoir votre aide sur un exercice svp.

    Est-ce qu'on peut simplifier (X+1)(X+3)/(X-1)?
    Je vous remercie pour votre disponibilité.
    Je vous souhaite une bonne fête.

    A bientôt
    M.
    (2 votes)
    Default Khan Academy avatar l'avatar de l’utilisateur
  • blobby green style l'avatar de l’utilisateur mark
    Posté il y a il y a un an. Lien direct vers le message de mark «Alors là ? On rajoute une ... »
    Alors là ? On rajoute une multiplication par -1 comme ça par magie pour simplifier ?
    exercice 4) : (x-2)(x+5) / (2-x)(x-5)

    Dans la correction on ajoute une multiplication par -1 :

    -1(x-2)(x+5) / (x+2)(x-5) ensuite cela peut être simplifié en barrant les deux -x+2, mais d'où sort ce -1 ?
    Et derrière x+5 est également multiplié par -1 ?
    (1 vote)
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    • blobby green style l'avatar de l’utilisateur Elisabeth
      Posté il y a il y a 10 mois. Lien direct vers le message de Elisabeth «On montre juste avant que ... »
      On montre juste avant que x-3 est l'opposé de 3-x
      Autrement dit, (x-3)=(-1)(3-x)
      Ici, on a fait la même chose : on a (x-2)/(2-x). Le numérateur est l'opposé du dénominateur, on peut écrire, à la place de x-2 : (-1)(2-x).
      Puis simplifier les deux facteurs (2-x). Il reste ce (-1), qui multiplie ce qui reste, donc (x-5)/(x+5)
      (2 votes)
  • piceratops tree style l'avatar de l’utilisateur ASSILEM666
    Posté il y a il y a un an. Lien direct vers le message de ASSILEM666 «Bonjour J'ai besoin d'une ... »
    Bonjour
    J'ai besoin d'une explication sur l'exercice 4 svp.
    En trouvant le facteur commun 2-x j'en arrive à -1(x-5)/x+5
    J'ai ensuite distribué le -1 pour arriver à -x+5/x+5 et j'ai réduit et ça donne donc -1 ? Ou bien on ne peut pas car ce n'était pas une multiplication après le signe négatif ?
    d'avance merci je ne sais pas si ma question est claire
    (1 vote)
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