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Cours : Algèbre III > Chapitre 1

Leçon 7: Établir l'expression de la fonction réciproque

Établir l'expression de la fonction réciproque

Apprendre à définir la fonction réciproque d’une fonction donnée. Par exemple, trouver la fonction réciproque de f (x) = 3 x + 2.

Deux fonctions

f

g

sont réciproques l'une de l'autre équivaut à : quel que soit

a

, si l'image de

a

par la fonction

f

est

b

, alors l'image de

b

par la fonction

g

est

a

. La notation de la réciproque de

f

est

f^{- 1}

Par définition,

f (a) = b ⟺ f^{- 1} (b) = a

Comment déduire de l'expression d'une fonction

f

, celle de sa fonction réciproque ?

Préambule

La première fonction traitée est la fonction affine définie par

f (x) = 3 x + 2

Une question : comment fait-on pour calculer, par exemple,

f^{- 1} (8)

Par définition, si

f^{- 1} (8) = x

, alors

f (x) = 8

, donc l'image de

8

par la fonction

f^{- 1}

est le nombre qui a comme image

8

par la fonction

f

\begin{aligned} f (x) & = 3 x + 2 \\ 8 & = 3 x + 2 & On a remplacé f (x) par 8 \\ 6 & = 3 x & On a soustrait 2 dans les deux membres \\ 2 & = x & On a divisé les deux membres par 3 \end{aligned}

Donc

f (2) = 8

f^{- 1} (8) = 2

Établir l'expression de la fonction réciproque

On peut généraliser ce que l'on vient de faire pour trouver

f^{- 1} (y)

pour toute valeur de

y

Par définition, si

f^{- 1} (y) = x

, alors

f (x) = y

, donc l'image de

y

par la fonction

f^{- 1}

est le nombre

x

qui a comme image

y

par la fonction

f

\begin{aligned} f (x) & = 3 x + 2 \\ y & = 3 x + 2 & On a remplacé f (x) par y \\ y - 2 & = 3 x & On a soustrait 2 dans les deux membres \\ \frac{y - 2}{3} & = x & On a divisé les deux membres par 3 \end{aligned}

Donc

f^{- 1} (y) = \frac{y - 2}{3}

La variable est une variable muette donc on peut aussi écrire

f^{- 1} (x) = \frac{x - 2}{3}

À vous !

1) Une fonction affine

Quelle est l'expression de la fonction réciproque de la fonction $g$ ‍ définie par $g (x) = 2 x - 5 ?$ ‍

g^{- 1} (x) =

2) Une fonction cube

Quelle est l'expression de la fonction réciproque de la fonction $h$ ‍ définie par $h (x) = x^{3} + 2 ?$ ‍

h^{- 1} (x) =

On remplace

h (x)

par

y

, puis on exprime

x

en fonction de

y

\begin{aligned} h (x) & = x^{3} + 2 \\ y & = x^{3} + 2 & On a remplacé h (x) par y \\ y - 2 & = x^{3} & On a soustrait 2 dans les deux membres \\ \sqrt[3]{y - 2} & = x & On a pris la racine cubique des deux membres \\ \sqrt[3]{y - 2} & = h^{- 1} (y) & On a remplacé x par h^{- 1} (y) \end{aligned}

Les variables sont muettes donc on remplace

x

par

y

pour avoir l'expression de

g^{- 1}

en fonction de

x

h^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 2}

3) Une fonction racine cubique

Quelle est l'expression de la fonction réciproque de la fonction $f$ ‍ définie par $f (x) = 4 \times \sqrt[3]{x} ?$ ‍

f^{- 1} (x) =

On remplace

f (x)

par

y

, puis on exprime

x

en fonction de

y

\begin{aligned} f (x) & = 4 \sqrt[3]{x} \\ y & = 4 \sqrt[3]{x} & On a remplacé f (x) par y \\ \frac{y}{4} & = \sqrt[3]{x} & On a divisé les deux membres par 4 \\ {(\frac{y}{4})}^{3} & = x & On a élevé les deux membres au cube \\ {(\frac{y}{4})}^{3} & = f^{- 1} (y) & On a remplacé x par f^{- 1} (y) \end{aligned}

Les variables sont muettes donc on remplace

x

par

y

pour avoir l'expression de

g^{- 1}

en fonction de

x

Donc

f^{- 1} (x) = {(\frac{x}{4})}^{3}

f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{64}

4) Une fonction rationnelle

Quelle est l'expression de la fonction réciproque de la fonction $g$ ‍ définie par $g (x) = \frac{x - 3}{x - 2} ?$ ‍

g^{- 1} (x) =

On remplace

g (x)

par

y

, puis on exprime

x

en fonction de

y

\begin{aligned} g (x) & = \frac{x - 3}{x - 2} \\ y & = \frac{x - 3}{x - 2} & On a remplacé g (x) par y \\ y (x - 2) & = x - 3 & On a multiplié les deux membres par x - 2 \\ y x - 2 y & = x - 3 & On a développé \\ y x - x & = 2 y - 3 & On a regroupé les termes en x dans le premier membre \\ x (y - 1) & = 2 y - 3 & On a mis x en facteut \\ x & = \frac{2 y - 3}{y - 1} & On a divisé les deux membres par y - 1 \\ g^{- 1} (y) & = \frac{2 y - 3}{y - 1} & On a remplacé x par g^{- 1} (y) \end{aligned}

Les variables sont muettes donc on remplace

x

par

y

pour avoir l'expression de

g^{- 1}

en fonction de

x

$g^{- 1} (x) = \frac{2 x - 3}{x - 1}$ ‍

Un dernier exercice

Associer à chacune de ces fonctions le type de sa fonction réciproque.

1

Il n'est pas nécessaire d'établir les expressions des fonctions réciproques de ces fonctions pour répondre à la question. Les exemples étudiés doivent vous permettre de répondre directement à la question. Voici la réponse :

Fonction	Type de fonction réciproque
$f (x) = 3 x - 5$ ‍	affine
$g (x) = x^{3} - 7$ ‍	racine cubique
$h (x) = \frac{x + 2}{x - 3}$ ‍	rationnel/rationnelle
$j (x) = \sqrt{x + 2}$ ‍	du second degré

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noryvavrille88
Posté il y a il y a 5 ans. Lien direct vers le message de noryvavrille88 «pour la question 4 il y a ... »
pour la question 4 il y a une erreur on ne peut pas donner (-2x+3)/(1-x), j'ai eu faux alors que j'avais juste :(
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(4 votes)
Réponse
- Elisabeth
  Posté il y a il y a un an. Lien direct vers le message de Elisabeth «Avec moi ça fonctionne, e ... »
  Avec moi ça fonctionne, en utilisant le bouton "x/y" qui permet d'écrire une fraction
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  (1 vote)
شيخان الشيخ أحمد الحاج
Posté il y a il y a 6 ans. Lien direct vers le message de شيخان الشيخ أحمد الحاج «Reciproque d'une fonction ... »
Reciproque d'une fonction polynômes
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