La formule des racines d'un polynôme du second degré

dans cette vidéo on va utiliser la formule des racines d'un polinum du second degré qu'on a démontré dans la vidéo précédente et surtout on va essayer de bien comprendre pourquoi il est essentiel de maîtriser cette formule ainsi que d'où elle vient allez on va tout de suite rentré dans le vif du sujet disons qu'on a une forme très général de polinum du second degré à savoir ax au carré plus px + c ou à b et c sont des coefficients et première remarque ici résoudre un polynôme ça revient à chercher ses racines c'est à dire les valeurs de x pour lesquelles ce polinum est égal à zéro dans ce cas général les racines de ce polinum autrement dit les solution de cette équation sont x1 qui est égal à moimbé plus racine carrée de bo carré - 4 as et tout ça sur deux arts et x2 qui est égal à - b - racine carrée de bo carré - 4 as et tout ça sur deux a certes ça a l'air compliqué à retenir mais avec un peu de pratique ça vient tout seul et c'est tu te demande d'où ça vient et bien on a vu dans la vidéo précédente que c'est en appliquant la méthode de complétion du carré à ce polinum que l'on obtient ces deux formules on va tout de suite utilisé ça pour résoudre un polynôme que l'on peut facilement résoudre pas factorisation juste pour vérifier qu'on obtient bien les mêmes résultats disons qu'on a x au carré + 4 x - 21 est égal à zéro ici on a à égal un as et le coefficient devant x au carré on a d égale 4 le coefficient devant x et c'est égal - 21 - 21 c'est la constante et avec ça on n'a plus qu'à remplacer dans ces deux formules je vais commencer par x1 il c'était gala moimbé donc moins quatre plus la racine carrée de bo carrés 4 au carré ces 16 - quatre fois à ses 1 fois ses c'est moins 21 et le tout divisé par deux fois à ac 1 donc divisé par deux on peut simplifier ça on a moins quatre plus racine carrée de alors ici on a 16 - 4 x 1 x - 21 4 x 1 ça fait 4 4 fois moins 21 ça fait moins 84 16 - -84 ses seize +84 ses sens et on a de la chance sans c'est un carré parfait et ça c'est toujours sur deux donc x17 égal à -4 +10 la racine carrée deux sens et 10 sur deux et si on divise ces deux termes par deux on obtient moins de +57 égale à 3 alors je ne vais pas détailler toutes ces étapes pour x 2 puisque c'est presque la même chose sauf que au lieu d'avoir plus ici on va avoir 1 - on à x2 c'est égal à - 4 - racine carrée de 16 - 4 x 1 x - 21 tout ça aussi sur deux et si tu veux tu peux t'amuser à calculer ça on obtient -7 ces formules nous permettent donc bien de trouver deux racines à ce polinum on pourrait les essayer dans notre équation de départ ou alors on pourrait aussi factoriser ce polinum quels sont les deux noms dont le produit est égal à -21 et dont la somme est égal à +4 et bien cette et -3 ce qui nous permet donc de factoriser ce trinôme et de réécrire sa comme x + 7 facteurs de x -3 et bien sûr c'est égal à zéro et donc quand le produit de deux facteurs est égal à zéro veut dire qu'au moins un des deux facteurs est égal à zéro on a donc x plus est égal zéro ou bien x -3 égal zéro autrement dit x égal moins sept ou bien x égal 3 et c'est bien les mêmes racines que celle qu'on a trouvé à l'aide des formules pour un polynôme comme celui ci ça a l'air quand même plus simple de factoriser plutôt que d'utiliser ces deux formules seul adil avantages de ces formules sait qu'elles vont toujours marché même avec des polynômes difficilement factories abl et justement on va s'entraîner avec un polynôme un petit peu plus compliqué alors je vais réécrire les formules au cas où tu ne les connaissent pas déjà par coeur on a x 1 qui est égal à moimbé plus racine carrée de paix au carré - 4 as et tout ça sur deux arts et on a x2 qui est presque la même chose c'est moins b - racine carrée de bo carré - 4 assez sûrs d'eux a et on va appliquer sao polinum 3x au carré plus 6 x égal moins 10 pour commencer on va modifier ça de façon à avoir tous les termes à gauche et 1 0 à droite pour ça on ajoute 10 de chaque côté et on obtient 3 x au carré plus 6 x + 10 égal zéro et maintenant on est prêt à appliquer nos formules pour déterminer les racines de ce polinum on a 3 c à 6 c b et 10 cessez donc on à x17 égal à moimbé donc moins six plus racine carrée de bo carré donc 6 au carré - quatre fois à 4 x 3 x c x 10 le tout sur deux fois a donc deux fois 3 on peut simplifier ça on a moins six plus racine carrée 2,6 au carré c'est 36 ensuite on a 4 x 3 x 10 120 - 120 le tout sur 2 x 3 ça fait 6 on a ici un cas intéressant et tu as peut-être déjà réalisé pourquoi 36 - 120 ça fait combien est bien 120 -36 ça fait combien essayé je rajoute 1 1 on a 10 - si ça fait 4 ensuite je rajoute un an ici aussi on a 12 - 4 ça fait huit ans 8 1 - 1 ça fait zéro donc ça fait 84 donc 36 - 120 c'est moins 84 donc on a x 1 c'est égal à -6 plus racine carrée de -84 sur six tu dois sûrement te demander à quoi ça sert de mémoriser des formules comme ça si elle nous amène à quelque chose d'impossible à calculer et bien la raison derrière ça c'est que ce polinum n'a aucune racine parmi les réelles ce polinum à 0 racing 0 racines parmi les réelles bien sûr puisque on verra plus tard qu avec les nombres complexes on peut en effet calculé la racine carrée d'un nombre négatif alors je n'ai pas besoin de faire la même chose pour x 2 puisque la seule différence c'est que on va avoir en moins ici à la place du plus mais on aura quand même une racine carrée négative mais on vient quand même d'apprendre quelque chose si bo carré - qu'a tracé est négatif alors le polynôme n'a pas de racines réel on a vu que la représentation graphique d'un polinum c'est une parabole et les points d'intersection entre cette parabole et l'axé des abscisses sont les racines de ce polinum comme notre polinum ici n'a pas de racines parmi les réelles bien sûr ça veut dire que sa parabole à aucun moment ne croise l'axé des abscisses on peut vérifier ça à l'aide d'une calculatrice alors je vais commencer par rentrer ma fonction donc je vais dans graphique je vais taper y c'est égal à 3 x au carré plus 6 x x + 10 et ensuite je vais tracé la représentation graphique et tu vois bien que le sommet de cette parabole est largement au dessus de l'axé des abscisses et tu as vu tout à l'heure avant que l'équation de sa fiche elle est tournée vers le haut donc peu importe la valeur de x y ne sera jamais égal à zéro encore une fois nos formules ont bien fonctionné allez on va essayer avec un dernier exemple puisque plus on s'entraîne plus ce sera facile pour toi de retenir ces formules qui ont l'air vraiment compliqué disons qu'on a cette fois - 3 x au carré plus 12x plus un égale zéro on va essayer de faire ça on se rappelant des formules de tête on à x17 égal à moimbé donc moins 12 plus racine carrée de bo carré 12 au carré c'est 144 moins quatre fois à fois c'est donc quatre fois moins trois fois 1 tous à diviser par deux fois a donc deux fois moins 3 on peut simplifier ça ça nous donne moins 12 plus racine carrée de moins 4 fois moins trois fois 1 ça fait 12 144 +12 ça fait 156 racine carrée 256 divisé par deux fois moins 3 c'est moins 6 on peut peut être décomposée 156 en produits de facteur premier pour simplifier cette racine 156 c'est deux fois 78 78 c deux fois trente neuf donc la racine carrée 256 c'est égal à la racine carrée de 2 x 2 x 39 2 x 2 x 39 ça c'est égal à la racine carrée de deux fois deux fois la racine carrée 2 39 2 x 2 ça fait 4 la racine carrée de 4 c2c donc égale à deux fois la racine carrée 2,39 on peut donc réécrire x1 com - 12 + 2 fois la racine carrée 2,39 tout ca / - six ont pu diviser au numérateur et le dénominateur par deux on obtient -6 plus racine carrée 2 39 / - 3 et enfin on peut séparer ces deux termes on a moins 6 / - 3 ça fait deux et ensuite on a plus racine carrée 2 39 / - 3 c com - racine carrée 2,39 sur trois et je pense qu'on ne veut pas plus simplifié encore une fois je te laisse s'amuser à faire la même chose pour x 2 x 2 c'est égal à moins 12 - racine carrée 256 sur -6 et ça nous donne x2 égal 2 plus racine carrée de 39 sur trois et voilà nos deux racines on va tracer sa pour vérifier alors on va rentrer notre fonction on a moins 3 - 3 x x au carré plus 12 x x plus un contrat ça et on voit bien que la parabole couple axes d ordonner à deux endroits ce sont nos deux racines on peut vérifier sa racine carrée 2,39 c'est un peu plus que 6 puisque racine carrée de 36,6 donc racine carrée de 39 sur trois c'est un peu plus que 2 on a donc x1 qui est un peu moins que zéro ça semble correspondre à ce point là même si on voit pas très bien et x2 qui est un peu plus que quatre et ici ça correspond aussi à ce point là