Limite à droite et limite à gauche : cas d'une fonction contenant la fonction cosinus

bonjour dans cette vidéo on va faire un petit peu le même travail que dans la vidéo précédente c'est à dire qu'on nous donne une fonction qui ici fdx égale x sur 1 - caussinus 2x moins deux et on nous demande de calculer les limites de f en deux - et un an de plus alors on nous propose plusieurs réponses et il va falloir choisir la bonne réponse alors il ya plusieurs manières de faire ça une première manière ça serait d'examiner la fonction la manière dont elle est constituée pour essayer de comprendre quelles vont être les limites de f en deux - et un an de plus ça c'est une manière très pratique si tu n'as pas de calculatrices par exemple et une deuxième manière ça serait d'utiliser une calculatrice pour voir quel est le comportement de cette quantité la de la quantité f 2 x quand x s'approche de deux par la droite et par la gauche alors je vais faire plus tôt de cette deuxième manière là je ferai aussi la première tout à l'heure donc si tu veux tu peux mettre la vidéo sur pause essayez de réfléchir d'une de ces deux manières de toute façon j'aborderai les choses des deux manières différentes alors je vais le faire et je vais le faire comme si j'avais une calculatrice 1 alors je vais d'abord m'occuper de la limite quand x d'anvers 2 - donc je vais faire tant brics à 2 - c'est-à-dire à 2 par des valeurs inférieures à 2 donc par la gauche et pour ça je vais faire un tableau de valeur alors je maîtrise ix est ici f x et je vais prendre x un petit peu plus petit que deux donc disons x égale 1,9 pour x égale 1,9 alors je vais calculé f 2 x donc ça me donne 1,9 sur un moins possible us de alors je vais avoir 1,9 -2 1,9 mois de ça fait moins 0,1 voilà alors c'est pour ça que dit tout à l'heure que c'était une méthode utile si on avait une calculatrice et je disais ça parce que effectivement je ne connais pas la valeur de cosinus moins 0,1 c'est pas une valeur remarquable donc pour calculer cette valeur là il faut absolument une calculatrice alors là je vais pas le faire je vais juste raisonner sur cette quantité ce que je sais c'est que caussinus de moins 0,1 ça va être très proche de cosinus de zéro donc assez proche de 1 est ce que je sais aussi c'est que quelle que soit x le cosinus 2x est toujours plus petit que 1 et toujours plus grand qu'eux - en fait le cosinus 2x va osciller entre -1 et un camp x varient et ça c'est important parce que ça veut dire que cette quantité la caussinus de moins 0,5 très proche de 1 comme on l'a dit tout à l'heure mais elle est plus petite que 1 ce qui veut dire que ici j'ai un moins quelque chose qui est un petit peu plus petit que 1 donc ça en fait ses proches de zéro mais c'est un peu plus grand que 0 je veux noter comme ça c'est zéro plus un peu plus grand que 0 et si tu avais pris une calculatrice pour calculer ce nombre qui aurait obtenu quelque chose d'un tout petit peu plus grand que 0 alors maintenant je vais me rapprocher encore plus de 2 je vais prendre 1,99 par exemple et du coup f de 1,99 et bien c'est 1,99 là je remplace juste x par 1.99 dans l'expression de f donc 1.99 / 1 - caussinus de 1.99 -2 ça ça fait moins 0,01 alors ici si tu avais une calculatrice tu pourrais te rendre compte que cette valeur là est encore plus petite que la précédente mais toujours positive donc en passant de là à là on sera proche de zéro mais en étant toujours positif alors ça on peut le voir même sans calculatrice en se disant que ici caussinus de -0 01 c'est encore plus proche de zéro que la valeur qu'on a fait ici au départ mais c'est toujours positif aussi pour la même raison c'est que caussinus de n'importe quel nombre est plus petit qu'un donc cette valeur-là est forcément toujours plus petit que 1 ce qui veut dire que comme tout à l'heure ici j'ai un mois quelque chose qui est un tout petit peu plus petit que 1 c'est c'est encore positif c'est encore positif et c'est encore très proche de zéro voilà donc je mets 0 plus ici et ce qui est important ici aussi c'est que quand hicks est passé de cette valeur là à cette valeur là on fait fdx a diminué cette quantité là est plus petite que celle ci voilà donc finalement ce qui se passe c'est que dans le premier cas ce nombre la c1 9 / quelque chose de très petit donc ça ça fait quelque chose de très grand et ici j'ai 1,99 / quelque chose d'encore plus petit donc ça va être encore plus grand voilà est donc finalement ça ça nous donne l'idée que la limite quand x temps vers 2 - 2 f 2 x et bien c'est plus l'infini plus infinie donc si je regarde les réponses qui sont là je peux éliminer déjà celle là est celle là ces deux là puisqu'elles correspondent pas aux raisonnements convient de faire ici alors ça on aurait pu le voir aussi en examinant cette quantité là ici quand x temps vers 2 - cette quantité la xb d'anvers 2 - ici au dénominateur caussinus 2x moins deux camps x temps vers de moins ça va tendre à caussinus de zéro c'est à dire à 1 mais en étant toujours un peu plus petit que 1 donc ça va tendre à 1 - ce qui veut dire que le dénominateur complet 1 - caussinus 2x moins 2 va tendre vers un moins quelque chose d'un tout petit peu plus petit que 1 c'est à dire en fait zéro + donc le dénominateur il tend vers zéro plus mais finalement on a donc quelque chose qui tend à 2 / quelque chose qui tend à zéro + donc s'attend effectivement à + l'infini voilà ça c'est une autre manière de voir qui correspond un peu au raisonnement qu'on a fait ici alors on n'a pas terminé il faut qu'on regarde maintenant la limite quand x temps vers de plus limite quand x temps verte de plus et je vais le faire de cette manière là alors j'ai x ici et f2 x là et maintenant x temps vers de plus donc je dois prendre des valeurs un peu plus grande que deux je vais prendre deux virgules alors f de 2,1 c'est donc 2,1 sur un - caussinus de 2,1 - 2 c'est-à-dire de 0,1 alors là je le même raisonnement tout à l'heure caussinus de 0,1 c'est très proche de cosinus de zéro donc 2-1 mais c'est plus petit que 1 donc cette quantité là est très proche de 1 mais inférieure à 1 ce qui veut dire que le dénominateur est très proche de zéro plus on va dire je le note comme ça c'est très proche de zéro plus donc on a ici 2,1 / quelque chose de très petit mais positif donc ça ça va donner quelque chose d'assez grand et maintenant je vais continuer à me rapprocher de la valeur 2 donc je prend 2,01 et f de 2,01 ça va me donner 2 01 / 1 - caussinus de 2,01 - 2 c'est-à-dire caussinus de 0,01 et là on exactement le même raisonnement cette quantité là est encore plus proche de cosinus 2 0 que tout à l'heure donc c'est encore plus proche de 1 mais toujours plus petit que 1 grâce à cette propriété là et du coup le dénominateur il s'est encore rapproché de zéro mais en étant positif voilà donc ici g20 un quelque chose de très proche de 2 / quelque chose qui est très très petit mais toujours positif donc ça ça va tendre vers zéro donc le quotient va tendre vers plus la fille donc ça ça nous donne l'idée que la limite quand x temps vers 2 + 2 f 2 x et bien c'est aussi plus l'infini on avait déjà éliminé ces deux réponses là et là je dois éliminé aussi celle là donc la bonne réponse finalement c'est celle-là limite de f2 x quand x temps vers de plus et quand x temps vers deux mois elles sont toutes les deux égal et toutes les deux et gala plus l'infini