Équations exactes : Exemple 1

maintenant que tu as la tête bien remplie de dérivées partielles et de psi 2 x 2 y il est temps de s'attaquer à des exemples concrets disons qu'on à l'équation différentiel y x caussinus 2x plus 2 x x exponentielle de y plus sinus 2x plus x au carré fois exponentielle de y - 1 x et y sur des hits est égal à zéro alors tu probablement déjà en mode équations différentielles exact mais de manière générale quand tu rencontres ce type d'équations différentielles avec d'abord une fonction de x et de y plus une autre fonction de x et de y fois d y sur des x tu remarque tout de suite que ce n'est pas une équation différentielle à variable séparables il faut donc vérifier si on a une équation différentielle exact alors on va appeler cette fonction n 2 x et de y est on va appeler sept autres fonctions m 2x et de y pour déterminer si cette équation différentielle est exact ou non on va vérifier si la dérivées partielles de m par rapport à y est égale à la dérive et partielle de haine par rapport à aix qui est la condition pour qu'on ait une équation différentielle exact alors là dérivées partielles de m par rapport à y est égal à et si on à y x caussinus 2x on dérive par rapport à y on considère donc x et toute fonction de xcom une constante donc on l'a caussinus 2x plus 2x est considérée comme une constante aussi la dérive et des exponentielle de y par rapport à y c'est exponentiel de y ensuite la dérivées partielles de haine par rapport à x 7 x as est égal à dériver de sinus 2x c'est caussinus 2x plus 2 x x exponentielle de y est considérée comme une constante donc exponentielle de y est la dérivée d'une constante par rapport à n'importe quel variable et bien c'est zéro et là qu'est ce que tu remarques et bien on remarque tout de suite que ces deux expressions sont égales on a bien caussinus 2x plus de six fois exponentielle de y donc là dérivées partielles de m par rapport à y est égale à la dérive et partielle de haine par rapport à x ce qui nous indique qu'on est dans le cas d'une équation différentielle alors ça c'est mon abréviation pour équations différentielles une équation différentielle exact mais à quoi ça nous sert de savoir ça salo dit qu'il existe une fonction 6 2 x et y tel que l'a dérivées partielles de cette fonction psy par rapport à ips est égal à m et que la dérivées partielles de cette fonction psy par rapport à y est égal à n ce qui nous permet de réécrire cette équation comme la dérive et total par rapport à x2 psy qui est une fonction de x et de y est égal à zéro à partir de là il n'y a plus qu'à résoudre pour psy on sait que la dérivées partielles de psy par rapport à x est égal à m on peut donc réécrire que la dérive et par celle de psy par rapport à x est égal à cette expression là donc y x caussinus 2x plus 2 x x exponentielle de y on aurait aussi pu choisir d'utiliser la dérivées partielles de psy par rapport à y est égal à m mais ici on va faire ça avec la dérivées partielles de psy par rapport à x pour se rapprocher un peu de psy on va intégrer de chaque côté de cette équation par rapport à x alors je vais faire ça de ce côté-là on intègre de chaque côté de l'équation par rapport à x ça c'est égal à l'intégrale de y faut caussinus 2x plus 2 x x exponentielle de y dx et on devrait avoir une constante ici mais au lieu d'ajouter plus c'est plus la constante comme on a fait la dérivées partielles par rapport à x ici il est possible qu'on ait perdu carrément une fonction de y donc on ajoute f2 y une fonction de y en effet quand on dérive une fonction de y par rapport à x c'est zéro donc en intégrant on doit se dire que peut-être on a perdu une fonction f2 y à gauche ici on peut simplifier en fait on a simplement si et de l'autre côté qu'elle est la primitive de cette expression là comme en intègrent par rapport à x y c'est une constante ça ne bouge pas la primitive de cosinus de xc sinus 2x ensuite la primitive de 2 x et x au carré est exponentielle y c'est une constante ça ne change pas plus f tu y es tu peux vérifier ça en dérivant cette expression par rapport à x et tu retombera sur la fonction m sur cette fonction là on a presque déterminé psy il ne nous reste plus qu'à déterminer cette fonction de y on sait que comme on a une équation différentielle exact en déterminant la dérivées partielles de psy par rapport à y on doit retomber sur la fonction n et c'est ce qu'on va faire tout de suite alors là dérivées partielles de psy par rapport à y en jeu changent de notation ici juste pour que tu te sens tu à l'aise avec celle là aussi c'est égal à sinus 2 x puisque on dérive par rapport à y donc s'y niche de x est considérée comme une constante plus x au carré qui est aussi considérée comme une constante fois exponentielle de y c'est la dérive et de exponentielle de y plus la dérive et 2f par rapport à y qu'est ce qu'on est en train de faire ici on a intégré m par rapport à x et on a dit qu'on avait peut-être perdu une fois action des grecs dans la dérivation partielle de psy par rapport à x qui est la même chose que m donc on a ajouté ce terme f2 y ap si ensuite on a fait la dérivées partielles de psy par rapport à y or comme on est dans le cas d'une équation différentielle exact ça ça va être égal à la fonction n la fonction haine qui est égal à sinus 2x plus x au carré fois exponentielle de y - 1 et maintenant on résout pour f prime de y alors je réécris on a sinus 2x plus x au carré fois exponentielle de y + f prime de y qui est égal à sinus 2x plus x au carré fois exponentielle de y - 1 on soustrait sinus 2x de chaque côté on élimine ces deux sinus 2x on soustrait x au carré fois exponentielle de y de chaque côté on élimine ces deux thèmes et il nous reste expriment de y égal moins un f2 y c'est la primitive de f prions de y donc f2 y c'est égal à moins y plus c'est une constante et maintenant on peut compléter si avec l'expression convient de trouver pour f2 y en a aussi qui est égal à y voit sinus 2x plus x au carré fois exponentielle de y - y plus c mais qu'est ce que ça nous dit d'après le théorème sur la dérivation d'une fonction composer ça nous permet de réécrire notre équation différentielle de départ comme la dérive et total par rapport à x comme la dérive et total par rapport à x de la fonction psi 2 x et de grec qui est égal à zéro et si on intègre de chaque côté on n'obtient que 6 2 x et de y est égale à une constante c'est et ça c'est une solution de notre équation différentielle de départ on peut remplacer ici psy par son expression ici on obtient y x sinus 2x plus x au carré est faux exponentielle de y - y plus c'est la constante ici que je vais appeler ses seins pour ne pas qu on s'embrouille avec cette constante là qui est égal à ceux c'est là que je vais appeler ces deux alors en fait on peut ne garder que c'est de ce côté là parce que si on soustrait de chaque côté par ses seins on a à droite c'est de moins c'est un qui est une constante qui peut prendre n'importe quelle valeur donc pour simplifier les écritures on va juste garder un c'est de ce côté là et on vient donc de résoudre notre équation différentielle de départ d'abord en vérifiant qu'elle est bien exact c'est ce qu'on a fait ici quand on a montré que la dérivées partielles de m par rapport à y est égale à la dérive et partielle de l par rapport à x cela veut dire que la dérivées partielles de psy par rapport à x est égal à m et que la dérivées partielles de psy par rapport à y est égal à m ce qui nous a permis de déterminer une expression pour psy en intégrant m par rapport à x c'est ce qu'on a fait ici on a obtenu cette expression là mais comme on a utilisé la dérivées partielles de psy par rapport à x on s'est dit qu'on avait peut-être perdu une fonction de y lors de la dérivation et pour trouver cette fonction de y on a utilisé la dérivées partielles de psy et par rapport à y qui commande est dans le cas d'une équation différentielle exacte doit être égale à elle c'est ce qu'on a fait là pour déterminer cette fonction de y qu'on avait peut-être perdu on a pu déterminer notre fonction psy ici et grâce à la règle de dérivation enchaîne on a pu écrire cette équation la dérive et total de 6 par rapport à x est égal à zéro et en intégrant où on a trouvé la solution de notre équation différentielle