Équations exactes : Exemple 2

dans cette vidéo on va à nouveau s'entraîner à résoudre des équations différentielles exact on commence avec l'équation 2x plus 3 + 2 y moins deux fois un dérivé de y par rapport à x est égal à zéro alors le premier membre de cette expression 2x +3 et notre fonction m ici on a une fonction de x seulement et puis à côté de ça on a un autre fonction haine qui est fonction de y uniquement et on va commencer par déterminer si on a ici une équation différentielle exact ou non et pour ça on commence par calculé à dérivées partielles de m par rapport à y adhérer v partiel 2 m par rapport à la grecque c'est égal à zéro il n'y a pas de y temps m donc c'est égal à zéro autrement dit le taux de variation de m par rapport à y c'est égal à zéro quel est le taux de variation de haine par rapport à x comme il n'ya pas de x dans n est qu on dérive par rapport à x tous assez considérés comme des constantes donc c'est égal à zéro aussi à dérivées partielles de haine par rapport à x est égal à zéro aussi ces deux dérivées partielles sont donc égale à zéro on peut donc écrire que la dérivées partielles de m par rapport à y est égale à la dérive et partielle de haine par rapport à x on est donc dans le cas d'une équation différentielle exact en fait on n'a même pas besoin de traiter cette équation différentielle comme une équation différentielle exact puisque tu as peut-être déjà remarqué qu'on a ici une équation différentielle à variable séparables mais enfin ça n'empêche pas qu'on peut quand même la résoudre comme une équation différentielle exact est d'ailleurs le fait qu'elles soient exacts nous indique qu'il existe une fonction 6 2 x et de y tel que l'a dérivées partielles de psy par rapport à x est égale à la fonction m c'est à dire 2 x +3 et la dérivées partielles de psy par rapport à y est égale à la fonction end c'est à dire 2 y - 2 ce qui veut dire que cette équation différentielle c'est en fait la dérive et total de psy par rapport à x en effet on sait que la dérive est totale par rapport à x de cette fonction psi 2 x et des grecs c'est égal à la dérive et partielle de psy par rapport à x plus là dérivées partielles de psy par rapport à y faut à la dérive et de y par rapport à x ce qui est la même chose que le membre de gauche de cette équation là on peut donc réécrire cette équation différentielle comme la dérive et total par rapport à x2 psi 2 x et de y qui est égal à zéro et si on intègre de chaque côté on n'obtient que psy 2x et de y est égale à celle qui est la solution de cette équation différentielle encore faut-il déterminer la fonction psy et c'est ce qu'on va faire en utilisant ces deux informations là et si on avait une condition initiale on pourrait ensuite résoudre pour c'est une fois qu'on aurait trouvé cette fonction que si on va utiliser cette expression d'abord on à la dérive et partielle de psy par rapport à x qui est égal à cette expression là on va intégrer de chaque côté par rapport à x et on obtient 6 qui est égal à x au carré plus 3x plus h2y une fonction de y d'habitude quand on calcule une primitive on ajoute une constante sauf que c'est là dérivées partielles ici par rapport à x quand on fait une dérivées partielles ont terre non seulement les constantes c'est pour ça qu'on ajoute normalement plus c'est mais on perd aussi toutes les fonctions de y qui sont des fonctions de y uniquement où il n'ya pas de x et c'est pour ça qu'on ajoute ici une fonction de y tu n'as qu'à faire la dérivées partielles de cette expression de psy par rapport à x et tu verras bien que h2y disparue en effet la dérive et d'une fonction de y seulement par rapport à x est égal à zéro maintenant on veut déterminer ce h2y pour ça on va faire la dérivées partielles de cette expression par rapport y qui devra être égal à cette expression là ce qui va nous permettre de résoudre pour h alors là dérivées partielles de psy par rapport à y c'est égal à est bien ici ils ces deux termes sont fonction de x uniquement ils disparaissent la dérivées partielles de psy par rapport à y est égal à h prime de y est donc h prime de y doit être égale à 2 y - 2 pour trouver h2y on intègre de chaque côté ici on obtient h2y qui est égal à y au carré - 2 y est on devrait ajouter une constante ici mais si tu as bien suivi l'exercice précédent dans la vidéo précédente tu sais que cette constante se retrouve dans la constante finale donc on n'a pas besoin de l'écrire ici et maintenant avec ça on peut réécrire six sites x et de y est égal à x au carré plus 3x plus cette fonction h2y convient de trouver c'est y au carré - 2 y est on a dit que la solution de notre équation différentielle c'est 6 de xy qui est égal à c'est donc on peut réécrire ça puisqu'on connaît maintenant psi 2 x et de y on a donc x au carré plus 3x plus y au carré - 2 y qui est égal à c et si on avait une condition initiale on pourrait aussi déterminé ce sela 7 constants je t'encourage à vérifier que cette équation est bien solution de l'équation différentiel de départ on va s'entraîner avec un autre exemple cette fois on a 2 x + 4 y plus 2x moins deux y x et y sur les x qui est égal à zéro ici on a notre fonction m ici on a notre fonction n quelle est la dérivées partielles de m par rapport à y dérivées partielles de m par rapport à y ce terme c'est comme une constante puisque ce n'est pas fonction de y c'est donc 4 quelle est la dérivées partielles de haine par rapport à x c'est égal à 2 puisque ce terme n'est pas fonction de xc donc considéré comme une constante qu'est ce qu'on remarque on remarque que la dérivées partielles de m par rapport à y n'est pas égal à la dérive et partielle de haine par rapport à x donc on n'est pas dans le cas d'une équation différentielle exact cette équation différentielle n'est pas exact on ne peut donc pas la résoudre avec la méthode qu'on a utilisé juste avant et voilà on continuera tout ça dans la prochaine vidéo