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Équations différentielles linéaires homogènes d'ordre 2 n°1

Introduction aux équations différentielles d'ordre deux, linéaires et homogènes avec des coefficients constants. Créé par Sal Khan.

Transcription de la vidéo

maintenant que les équations différentielles du premier ordre n'ont plus de secret pour toi on va donc s'attaquer aux équations différentielles du second ordre qu'est ce que ça veut dire ça veut dire qu'on va introduire les dérivés secondes dans notre équation différentielle la première catégorie d'équations différentielles du second ordre que l'on va aborder c'est donc la catégorie des équations différentielles du second ordre linéaire qu'est ce que c'est eh bien ce sont les équations différentielles du type à 2x une fonction de x uniquement fois la dérivée seconde de y par rapport à x + b 2 x une autre fonction de x fois la dérive est première de y par rapport à x plus une autre fonction de x ces 2 x fois la fonction y est égale à une fonction t2 x qui est une fonction de x uniquement alors pourquoi est ce que c'est une équation différentielle du second ordre parce que le plus grand ordre de dérivation de la fonction y ici c'est l'ordre 2 ici on a la dérivée seconde y ce qui fait de cette équation différentielle une équation différentielle du second ordre on a ici une équation différentielle du second ordre et qu'est ce qui fait qu'elle est linéaire et bien parce que tous les coefficients ici alors attention d'habitude on parle de coefficients pour des constantes mais ici nous coefficients sont des fonctions de x1 donc pour que cette équation différentielle du second ordre soit linéaire il faut que tous ces coefficients à 2 x b de xc 2x et des 2 x soit des fonctions de x uniquement alors avant de te proposer une méthode générale pour résoudre cette équation différentielle on va résoudre un cas particulier ou à b et c sont des constantes et des est égal à zéro alors je vais écrire cette équation différentielle on a à alors maintenant à ce n'est plus une fonction c'est juste une constante c'est un nombre donc à a fois la dérivée seconde de y par rapport à x + b une autre constante fois la dérive est première de y par rapport à plus c'est une troisième constante fois la fonction y est égal à et au lieu d'avoir une quatrième constante à la place de d2x on va juste écrire que c'est égal à zéro et justement en posant sa égal à zéro ça me permet de te présenter une autre forme d'équations différentielles homogène mais leur attention l'expression équations différentielles homogène a une signification différente et indépendante quand on parle maintenant d'équations différentielles du second ordre linéaire homogène par rapport aux équations différentielles du premier ordre homogène dont on a parlé dans les vidéos de la partie précédente c'est le même mot c'est la même expression et pourtant ces deux types d'équations n'ont pas grand chose à voir dans notre cas on appelle ce type d'équations différentielles du second ordre homogène parce que c'est égal à zéro cette équation différentielle du second tour est homogène parce qu'elle est égal à zéro on a donc ici une équation différentielle du second ordre linéaire homogène du second ordre parce que le plus grand ordre de dérivation de y ces deux on a ici y seconde linéaire parce que à b et c ne sont pas des fonctions de y ici ce sont même des constantes et homogène parce que c'est égal à zéro et tu vas voir que ce sont des équations différentielles assez amusante à résoudre et puis c'est une catégorie d'équations différentielles très utile dans plusieurs disciplines elles sont amusantes à résoudre parce que tu vas voir que c'est simplement un problème d'algèbre allez on va tout de suite rentré dans le vif du sujet on va se demander quelles pourraient être les propriétés des solution de cette équation différentielle pour ça on va essayer quelque chose qu'ils ont par exemple que j'ai 2 x la fonction g2x et solutions ça veut dire que ma foi j'ai seconde plus b x geprim plus c'est fois la fonction j'ai est égal à zéro ça et ça ça veut dire la même chose ma question maintenant c'est si on a une constante fois j'ai est-ce que c'est aussi une solution c'est à dire si j'ai une constante c'est un fois ma fonction g2x est-ce que c'est aussi une solution de cette équation différentielle pour savoir on n'a qu'à substituer ça dans notre équation différentielle de départ alors je continue de ce côté là donc à fois la dérivée seconde de sa qu'est ce que c'est on à la constante c'est un ici qui reste tel quel on a donc à foix c'est un fois la dérivée seconde 2 g par rapport à x + b fois c'est un fois la dérive et première 2 g par rapport à x pleut c'est fois c'est un fois j'ai et voyons maintenant si ça c'est égal à zéro on peut factoriser cette expression par la constante c1 on a donc c'est un fois à fois j'ai seconde plus des jets prime plus c'est fois j'ai et on sait que j'ai est une solution de cette équation différentielle c'est ce qu'on a écrit ici donc toute cette expression là est égal à 0 1 c'est ce qu'il y à issy et donc c'est un x 0 c'est bien égal à zéro donc cette expression là est aussi égale à zéro autrement dit c'est un x g2x est aussi solution de notre équation différentielle de départ donc si j'ai et solution de cette équation différentielle du second ordre linéaire homogène alors une constante fois j'ai est aussi une solution maintenant si je te dis que h2x est aussi une solution de notre équation différentielle de départ qu'en est-il de g2x plus h2x autrement dit ces deux fonctions sont solution de notre équation différentielle de départ qu'en est il de la somme de ces deux fonctions pour ça même chose on va substituer cette somme dans notre équation différentielle de départ on a donc à fois la dérivée seconde de cette expression là comme on a une somme ici la dérivée seconde de la somme c'est la somme des dérivés secondes donc j'ai seconde plus âge secondes même chose pour la dérive est première de cette expression c'est geprim plus h prime plus c'est fois la somme j'ai plus h on distribue les constantes on a à x j'ai seconde plus à foix h seconde plus des fois j'ai prime plus pkoi h prime plus c'est fois j'ai plus c'est x h on peut réarrangé en regroupant les termes angers et les termes en âge on a à x j'ai seconde plus b x geprim plus ces voix j'ai plus maintenant les termes en h à foix h seconde plus b x h prime plus c'est x h on sait que g et h sans solution de notre équation différentielle de départ donc par définition si j'ai et solutions de notre équation différentielle de départ alors cette expression là est égal à zéro de la même façon 6h et solutions de notre équation différentielle de départ cette expression là est aussi égale à zéro donc on vient de montrer que toute cette expression là est bien égale à zéro 6 g est une solution de cette équation différentielle du second ordre linéaire homogène et h est aussi une solution alors la somme des deux est aussi une solution et comme on a montré juste avant qu'une constante fois une solution de l'équation différentiel est aussi une solution on peut donc écrire c'est un x g2x plus ces deux fois h2x est aussi une solution voilà donc deux propriétés importantes à retenir concernant les équations différentielles du second ordre linéaire homogène que l'on va utiliser dans la prochaine vidéo pour déterminer les solutions et tu vas voir que ce n'est pas très compliqué en tout cas beaucoup moins que pour les équations différentielles du premier ordre à bientôt