If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si vous avez un filtre web, veuillez vous assurer que les domaines *. kastatic.org et *. kasandbox.org sont autorisés.

Contenu principal
Heure actuelle :0:00Durée totale :22:41

Preuve : l'inversibilité implique l'existence d'une unique solution à l'équation f(x)=y

Transcription de la vidéo

donc j'ai une fonction f et c'est une fonction qui est défini donc il ya ceux ci à n'importe quel élément dans x dans un ensemble x à un élément qui est dans l'ensemble y est on va dire que cette fonction là et bien cette fonction la haye inversible f et inversible est ce que je veux savoir dans cette vidéo là c'est qu'est ce que ça implique et bien pour l'équation f 2 x est égal à y donc qu'est ce que ça implique pour ça donc laisse moi d'abord et bien te dessiner un petit peu qu'est ce que ça veut dire et qu'est ce que j'entends par là donc on a un ensemble de définition x ici et on a un ensemble d'arriver ici y est donc là ce que j'ai dit c'est que je prends n'importe quel point ici dans x donc mais on va appeler ce point là à et bien je peux lui trouver je peux lui trouver un point dans y ici tel que eh bien ce point là ce soit f2 donc ma fonction est fasse aussi bien un élément de x à un élément de y est ce que je vais essayer de montrer dans cette vidéo c'est bien c'est la définition suivante c'est que si elle fait inversible si et seulement si et bien je peux trouver pour n'importe quel y appartement à l'ensemble y donc pour tout petit y appartenant à l'ensemble grands y ici je peux trouver une solution unique donc il y a donc il y a donc il existe donc ça se note comme ça il existe une unique solution x tel que tel que et bien f 2 x est égal à y donc ça c'est ce que je vais essayer de et de démontrer dans cette danse est dans cette vidéo donc là il faut pas que tu aies peur de cette définition là parce qu'on va tout décortiquer ensemble juste ici il faut juste que tu retiennent que ce signe là c'est pour tout ça veut dire pour tous ce signe ici ça veut dire il existe et ce point d'exclamation ici c'est pour dire il existe un unique x donc qu'est ce que j'entends par là et bien si je reviens pas tête au heat ici et bien si je prends un point dans y ici un point b et bien ce que je veux savoir c'est s'il y a un hic ce que je peux trouver ici donc un élément de 2 de l'ensemble des grands x tel que f 2 x est égal à b et je veux savoir si ce point là ce point là est unique ce point là est unique donc qu'est-ce que ce serait un point qui serait pas unique et bien ce serait par exemple y aurait un deuxième point ici dans x qui serait associé à b ici donc là dans ce cas là est bien le x ne serait pas unique donc on va commencer par démontrer la première relation et si donc la relation qui va dans ce sens là à partir de f est inversé donc qu'est-ce que ça veut dire que f soit atteint vers cycle et bien f1 inversible f inversible ça veut dire ça veut dire qu'il existe une fonction donc il existe une fonction que je pèse f puissance - 1 2 f exposants moins un qui prend un élément dans l'ensemble des grecs et qui me redonne un élément dans l'ensemble des x tel que tel que est bien là composé de f - 1 donc de l' inverse avec f va me donner l'identité l'identité dans x donc qu'est ce que c'est que l'identité d'un x et bien si je prends un point ici d'accord je lui applique identité 2x et je me retrouve avec le même point donc ça c'est l'identité dans x donc f the les définit de la manière suivante j'ai dit eve 2 x est égal à hirak donc f 2 x et y sont des éléments de y est donc qu'est ce que ça veut dire ça veut dire que si ce sont des éléments de yacks et bien je peux leur apd qui est bien la fonction inverse ici puisqu'elle prend des éléments dans y donc je peux appliquer de chaque côté la fonction inverse f - 1 2 f 2 x va être égal à f moins 1,2 y y mais je sais quelque chose sur la composent et de la fonction inverse avec la fonction f donc la fonction inverse de f avec la fonction fc que ça c'est égal à l'identité donc ça c'est exactement l'application de cette définition là donc c'est à dire que c'est l'identité d'un x 2 x c'est la même chose ici donc cette équation là et bien se simplifie tout simplement puisque si c'est l'identité d'un x est bien ici je vais avoir juste x x est égale à la fonction inverse deux sur y est donc x ici est unique et comme enjeu c est bien que x est unique et bien parce que la fonction inverse ici donc f - 1 est la seule inverse de fc ce qu'on a vu dans une des précédentes vidéos donc ça définit bien que moins x ici est unique donc est ce que j'ai ici et bien j'ai s'y est fait inversible et bien f 2 x est égal à y est j'ai trouvé que pour tout y appartenant à grant y à l'ensemble des grandes y c'était par définition dans ma définition de la fonction inverse et bien il y à une solution unique x à 7 à cette fonction la f2 x est égal à y donc ici j'ai bien montrer cette relation-là ici j'ai bien montrer que donc fff inversible f inversible ça nous donne que et bien pour tout y appartenant à l'ensemble des grandes y il y a il y a une solution unique une solution unique à l'équation à f2 x est égal à y donc la solution unique c'est bien c'est bien x ici donc maintenant je vais faire un peu de place et on va s'attaquer à la réciproque on va s'attaquer à la réciproque donc là là je vais juste laissé je vais juste laisser ce qu'on a trouvé avec cette première preuve donc voilà alors la réciproque la réciproque donc la réciproque c'est à dire qu'on veut montrer cette direction de notre relation c'est à dire pour tout y appartenant à y il existe un unikix tels que f 2 x est égal à y implique que est faite inversible donc ce qu on va supposer pour le moment c'est on va supposer que pour tout y appartenant à y f 2 x est égal à y a une solution à une solution unique unique x donc on va partir en fait de deux sets cette hypothèse là qu'on va supposer vrai pour essayer de démontrer que f et bien inversible donc je vais juste ce que j'ai fait en jaune là le garder pour tout à l'heure donc ça rappelle toi bien que c'est la preuve enfin c'est le résultat de cette direction-là f inversible implique ça donc qu'est-ce que ça ça veut dire ce cette phrase en violet donc je vais redessiner mais patatoïde ici donc ça c'est l'ensemble des x et voilà l'ensemble des y ça veut dire que donc pour tout élément de y eh bien je vais pouvoir trouver un élément dans x et c'était les mandants lit cela va être unique et donc ici ce que je vais faire c'est que je vais définir une nouvelle fonction grand s une nouvelle fonction qui va de grant y dans grant x et je vais la définir tels que et bien s de petites y donc un élément de grande y dans l'ensemble quand y pas être égal à la solution la solution unique la solution unique x de f 2 x est égal à y donc ça a l'air un petit peu compliqué comme ça mais en fait ça et bien c'est une fonction valide parce qu'on a commencé par prendre n'importe quel y de l'ensemble grant y ici et on a dit qu'on pouvait trouver et bien un élément unique dans l'ensemble des ziks ici donc on peut bien définir cette fonction là c'est une fonction valide donc ici si je prends un élément b2 de moments ensemble y est bien s2b s2b s2b donc ça va être ce point là ici s2b va être une solution unique à f2 x est égal à b d'accord donc ça c'est par définition de tout ce que j'ai de ce que j'ai écris ici de l'hypothèse de départ donc ici bien ce que je disais c'est que s2b est une solution unique à f2 x est égal à b en d'autres termes ça qu'est ce que ça veut dire eh bien ça veut dire que f2s de paix est égal à b puisque s2b et solution de cette équation l'a donc s2b bien égal à x ici donc je peux remplacer ici donc f2s 2b est égal à b et ça en d'autres termes qu'est ce que c'est je continue ici eh bien c'est la composent et 2f par s appliquer à l'élément b qui va donc être égal à b en d'autres termes est bien ce que là je viens de vendre et c'est que la composent et 2f paresse c'est égal à l'identité d'un y donc identité de grecque d'eubée est égal à bec ici donc ce que j'ai bien ici c'est que f on s est égal à l'identité dans y donc là ce que j'ai montré c'est qu'on peut bien définir une fonction s et qu'on peut définir une fonction est elle qu elles feront s est égal à l'identité de y maintenant imaginons qu'on va prendre un point à dans l'ensemble des x comme ici et donc on lui associe un point donc f2 a dans l'ensemble on y donc par f maintenant je vais utiliser ma fonction s et je pouvoir l'appliquer à f2 à puisque f2 appartient et y est donc par définition la fonction s prend des éléments de y ait des transforme dans un an dans des parts des élus et les associe à des éléments de x donc ici et bien je peux prendre je peux très bien prendre s de f2 a ici s de f2 et donc ça et bien qu'est-ce que qu'est ce que ça me donne eh bien ça ça va être égal à la solution unique de f2 x est égal à f2 a donc juste par définition en fait de ma fonction s et ça et bien f 2 x est égal à f2 à ça veut dire que ça et bien c'est tout simplement été gallach a donc s de f2 à ça va être égal à a et on sait qu'il n'ya qu'une seule solution en fait c'est que l'équation parce que eh bien ça fait partie justement de nos hypothèses de départ pour cette partie donc ce que j'ai ici c'est que s de f2 a été gala a donc en d'autres termes ce que j'ai c'est que s rond f donc la composent et de s par m 2a est égal à à et en d'autres termes est seront f est égal à l'identité d'un x donc là j'ai montré bien deux choses intéressantes j'ai montré que la composent et 2f par une fonction que j'ai défini s est égal à l'identité dans et grecs et j'ai montré que la composent et de la fonction est ce que j'ai défini paref est égal à l'identité d'un x donc qu'est ce que j'ai montré en fin de compte ici c'est que eh bien on a bien f et inversible donc f est inverse il pleure voilà ça c'est notre conclusion est faite inversible donc je serai capituler ce qu'on a fait dans cette deuxième partie la partie client violet ici donc on a commencé par dire que si on prend n'importe quel élément quel élément dans l'ensemble des y eh bien on peut trouver une élément qui est solution unique à l'équation f 2 x est égal à y d'accord à partir de ça on a construit une fonction s d'accord on a vu que s existait que c'était une fonction valide et que surtout la composition de f par s nous donne l'identité d'un y est on a vu aussi donc que la composition de s par f nous donne l'identité d'un x donc on a ces deux équations ici qui nous ont donné que f étaient inversés parce que ça eh bien c'est vraiment la définition donc de l'un vers sibilité donc je récapitule dans la première partie de la vidéo on a montré qu' à partir de f1 vers cible on a trouvé que pour tout y appartenant à l'ensemble des grandes gueules il y à une solution unique x af de xy donc on a montré cette direction là de notre définition ici et ensuite on a montré qu'on pour tout y appartenant à l'ensemble des y si on en a à f si on a une solution unique x à l'équation f de xda grecque alors est faite inversible donc on a montré et bien la réciproque ici donc la conclusion de tout ça qu'est ce que c'est et bien c'est exactement ce que j'ai encadré en rose ici au début c'est que et bien si j'ai une fonction f1 vers cible est bien est faite inversible si et seulement si d'accord si et seulement si pour tout y appartenant l'ensemble des grecs il y à une solution unique x tel que f 2 x était qu'à la cac